En matemáticas (específicamente álgebra lineal ), la identidad de la matriz de Woodbury , llamada así por Max A. Woodbury, [1] [2] dice que el inverso de una corrección de rango- k de alguna matriz se puede calcular haciendo una corrección de rango- k a la inversa de la matriz original. Los nombres alternativos para esta fórmula son la matriz de inversión lema , fórmula Sherman-Morrison-Woodbury o simplemente fórmula Woodbury . Sin embargo, la identidad apareció en varios documentos antes del informe Woodbury. [3] [4]
La identidad de la matriz de Woodbury es [5]
donde A , U , C y V son matrices conformables : A es n × n , C es k × k , U es n × k y V es k × n . Esto se puede derivar usando inversión de matriz en bloques .
Si bien la identidad se usa principalmente en matrices, se mantiene en un anillo general o en una categoría Ab .
Discusión
Para probar este resultado, comenzaremos probando uno más simple. Reemplazando A y C con la matriz identidad I , obtenemos otra identidad un poco más simple:
Para recuperar la ecuación original de esta identidad reducida , establezca y .
Esta identidad en sí misma puede verse como la combinación de dos identidades más simples. Obtenemos la primera identidad de
- ,
por lo tanto,
- ,
y de manera similar
La segunda identidad es la denominada identidad push-through [6].
que obtenemos de
después de multiplicar por a la derecha y por a la izquierda.
Casos especiales
Cuándo son vectores, la identidad se reduce a la fórmula de Sherman-Morrison .
En el caso escalar, (la versión reducida) es simplemente
Inversa de una suma
Si n = k y U = V = I n es la matriz identidad, entonces
Continuar con la fusión de los términos del extremo derecho de la ecuación anterior da como resultado la identidad de Hua
Otra forma útil de la misma identidad es
que tiene una estructura recursiva que produce
Esta forma se puede utilizar en expansiones perturbativos donde B es una perturbación de A .
Variaciones
Teorema de la inversa binomial
Si A , B , U , V son matrices de tamaños n × n , k × k , n × k , k × n , respectivamente, entonces
siempre que A y B + BVA −1 UB no sean singulares. Nonsingularity de este último requiere que B -1 existen ya que es igual a B ( I + VA -1 UB ) y el rango de este último no puede exceder el rango de B . [6]
Dado que B es invertible, los dos términos B que flanquean la cantidad entre paréntesis inversa en el lado derecho se pueden reemplazar con ( B −1 ) −1 , lo que da como resultado la identidad Woodbury original.
Una variación para cuando B es singular y posiblemente incluso no cuadrado: [6]
También existen fórmulas para ciertos casos en los que A es singular. [7]
Derivaciones
Prueba directa
La fórmula se puede probar comprobando que veces su supuesta inversa en el lado derecho de la identidad de Woodbury da la matriz de identidad:
Pruebas alternativas
Prueba algebraica |
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Primero considere estas identidades útiles, Ahora, |
Derivación mediante eliminación por bloques |
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Derivar la identidad de la matriz de Woodbury se hace fácilmente resolviendo el siguiente problema de inversión de la matriz de bloques Ampliando, podemos ver que lo anterior se reduce a que es equivalente a . Eliminando la primera ecuación, encontramos que, que se puede sustituir en el segundo para encontrar . Ampliando y reorganizando, tenemos, o . Finalmente, sustituimos en nuestro, y tenemos . Por lo tanto, Hemos derivado la identidad de la matriz de Woodbury. |
Derivación de la descomposición de LDU |
---|
Empezamos por la matriz Al eliminar la entrada debajo de A (dado que A es invertible) obtenemos Asimismo, eliminar la entrada sobre C da Ahora combinando los dos anteriores, obtenemos Moverse hacia el lado derecho da que es la descomposición LDU de la matriz de bloques en matrices triangular superior, diagonal y triangular inferior. Ahora invirtiendo ambos lados da Igualmente podríamos haberlo hecho de otra manera (siempre que C sea invertible) es decir Ahora otra vez invirtiendo ambos lados, Ahora, comparando los elementos (1, 1) del RHS de (1) y (2) anteriores, se obtiene la fórmula de Woodbury |
Aplicaciones
Esta identidad es útil en ciertos cálculos numéricos donde A −1 ya se ha calculado y se desea calcular ( A + UCV ) −1 . Con el inverso de A disponible, solo es necesario encontrar el inverso de C −1 + VA −1 U para obtener el resultado utilizando el lado derecho de la identidad. Si C tiene una dimensión mucho más pequeña que A , esto es más eficiente que invertir A + UCV directamente. Un caso común es encontrar la inversa de una actualización de rango bajo A + UCV de A (donde U solo tiene unas pocas columnas y V solo unas pocas filas), o encontrar una aproximación de la inversa de la matriz A + B donde la matriz B puede aproximarse mediante una UCV de matriz de rango bajo , por ejemplo, utilizando la descomposición de valor singular .
Esto se aplica, por ejemplo, en el filtro de Kalman y los métodos recursivos de mínimos cuadrados , para reemplazar la solución paramétrica , que requiere la inversión de una matriz de tamaño de vector de estado, con una solución basada en ecuaciones de condición. En el caso del filtro de Kalman, esta matriz tiene las dimensiones del vector de observaciones, es decir, tan pequeña como 1 en caso de que solo se procese una nueva observación a la vez. Esto acelera significativamente los cálculos a menudo en tiempo real del filtro.
En el caso en que C es la matriz identidad I , la matrizse conoce en álgebra lineal numérica y ecuaciones diferenciales parciales numéricas como la matriz de capacitancia . [4]
Ver también
- Fórmula de Sherman-Morrison
- Complemento Schur
- Lema del determinante de la matriz , fórmula para una actualización de rango k a un determinante
- Matriz invertible
- Pseudoinverso de Moore – Penrose # Actualización del pseudoinverso
Notas
- ^ Max A. Woodbury, Inversión de matrices modificadas , Memorando Rept. 42, Grupo de Investigación Estadística, Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, 1950, 4pp MR 38136
- ^ Max A. Woodbury, La estabilidad de las matrices de entrada de salida . Chicago, Ill., 1949. 5 págs. MR32564
- ^ Guttmann, Louis (1946). "Métodos de ampliación para calcular la matriz inversa" . Ana. Matemáticas. Estadista . 17 (3): 336–343. doi : 10.1214 / aoms / 1177730946 .
- ^ a b Hager, William W. (1989). "Actualización de la inversa de una matriz". Revisión SIAM . 31 (2): 221–239. doi : 10.1137 / 1031049 . JSTOR 2030425 . Señor 0997457 .
- ^ Higham, Nicholas (2002). Precisión y estabilidad de algoritmos numéricos (2ª ed.). SIAM . pag. 258 . ISBN 978-0-89871-521-7. Señor 1927606 .
- ^ a b c Henderson, HV; Searle, SR (1981). "Sobre la derivación de la inversa de una suma de matrices" (PDF) . Revisión SIAM . 23 (1): 53–60. doi : 10.1137 / 1023004 . hdl : 1813/32749 . JSTOR 2029838 .
- ^ Kurt S. Riedel, "Una identidad de Sherman-Morrison-Woodbury para matrices de aumento de rango con aplicación al centrado", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 13 (1992) 659-662, doi : 10.1137 / 0613040 preprint MR1152773
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 2.7.3. Fórmula de Woodbury" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
enlaces externos
- Algunas identidades matriciales
- Weisstein, Eric W. "Fórmula de Woodbury" . MathWorld .