En matemáticas , en particular álgebra lineal , la fórmula de Sherman-Morrison , [1] [2] [3] nombrada en honor a Jack Sherman y Winifred J. Morrison, calcula la inversa de la suma de una matriz invertible y el producto exterior ,, de vectores y . La fórmula de Sherman-Morrison es un caso especial de la fórmula de Woodbury . Aunque lleva el nombre de Sherman y Morrison, ya apareció en publicaciones anteriores. [4]
Declaración
Suponer es una matriz cuadrada invertible yson vectores de columna . Luegoes invertible si . En este caso,
Aquí, es el producto externo de dos vectores y . La forma general que se muestra aquí es la publicada por Bartlett. [5]
Prueba
() Para demostrar que la dirección hacia atrás (es invertible con la inversa dada como arriba) es verdadera, verificamos las propiedades de la inversa. Una matriz (en este caso, el lado derecho de la fórmula de Sherman-Morrison) es el inverso de una matriz (en este caso ) si y solo si .
Primero verificamos que el lado derecho () satisface .
Para finalizar la prueba de esta dirección, debemos demostrar que de forma similar a la anterior:
() Recíprocamente, si , luego dejando , tiene un kernel no regular y, por lo tanto, no es invertible.
Solicitud
Si el inverso de ya se conoce, la fórmula proporciona una forma numéricamente barata de calcular el inverso de corregido por la matriz (dependiendo del punto de vista, la corrección puede verse como una perturbación o como una actualización de rango -1). El cálculo es relativamente barato porque la inversa de no tiene que calcularse desde cero (que en general es caro), pero puede calcularse corrigiendo (o perturbando) .
Usando columnas unitarias (columnas de la matriz de identidad ) para o , columnas o filas individuales de puede manipularse y calcularse una inversa correspondientemente actualizada de forma relativamente económica de esta manera. [6] En el caso general, cuando es un -por- matriz y y son vectores arbitrarios de dimensión , la matriz completa se actualiza [5] y el cálculo tomamultiplicaciones escalares. [7] Si es una columna de unidad, el cálculo solo toma multiplicaciones escalares. Lo mismo ocurre sies una columna de unidad. Si ambos y son columnas unitarias, el cálculo toma solo multiplicaciones escalares.
Esta fórmula también tiene aplicación en física teórica. Es decir, en la teoría cuántica de campos, se usa esta fórmula para calcular el propagador de un campo de espín-1. [8] [ referencia circular ] El propagador inverso (como aparece en el Lagrangiano) tiene la forma. Uno usa la fórmula de Sherman-Morrison para calcular la inversa (que satisface ciertas condiciones de frontera de ordenamiento temporal) del propagador inverso, o simplemente el propagador (Feynman), que es necesario para realizar cualquier cálculo perturbativo [9] que involucre el campo de espín-1 .
Verificación alternativa
A continuación se muestra una verificación alternativa de la fórmula de Sherman-Morrison utilizando la identidad fácilmente verificable
- .
Dejar
luego
- .
Sustituyendo da
Generalización ( identidad de la matriz de Woodbury )
Dado un cuadrado invertible matriz , un matriz y un matriz , dejar frijol matriz tal que . Entonces, asumiendo es invertible, tenemos
Ver también
- El lema del determinante de la matriz realiza una actualización de rango 1 a un determinante .
- Identidad de la matriz de Woodbury
- Método cuasi-Newton
- Teorema de la inversa binomial
- Fórmula Bunch – Nielsen – Sorensen
- El tensor de tensión de Maxwell contiene una aplicación de la fórmula de Sherman-Morrison.
Referencias
- ^ Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1949). "Ajuste de una matriz inversa correspondiente a cambios en los elementos de una determinada columna o una determinada fila de la matriz original (resumen)" . Anales de estadística matemática . 20 : 621. doi : 10.1214 / aoms / 1177729959 .
- ^ Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1950). "Ajuste de una matriz inversa correspondiente a un cambio en un elemento de una matriz dada" . Anales de estadística matemática . 21 (1): 124-127. doi : 10.1214 / aoms / 1177729893 . Señor 0035118 . Zbl 0037.00901 .
- ^ Prensa, William H .; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T .; Flannery, Brian P. (2007), "Sección 2.7.1 Fórmula Sherman-Morrison" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- ^ Hager, William W. (1989). "Actualización de la inversa de una matriz" (PDF) . Revisión SIAM . 31 (2): 221–239. doi : 10.1137 / 1031049 . JSTOR 2030425 . Señor 0997457 . S2CID 7967459 .
- ^ a b Bartlett, Maurice S. (1951). "Un ajuste de matriz inversa que surge en el análisis discriminante" . Anales de estadística matemática . 22 (1): 107-111. doi : 10.1214 / aoms / 1177729698 . Señor 0040068 . Zbl 0042.38203 .
- ^ Langville, Amy N .; y Meyer, Carl D .; "PageRank de Google y más: la ciencia de las clasificaciones de motores de búsqueda", Princeton University Press, 2006, p. 156
- ^ Actualización de la matriz inversa mediante la fórmula de Sherman-Morrison
- ^ Propagador # Spin 1
- ^ [1]
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fórmula de Sherman-Morrison" . MathWorld .