En las matemáticas , en particular álgebra lineal , la matriz de determinante lema calcula el determinante de la suma de una invertible matriz A y el producto diádico , u V T , de una columna de vector u y una fila vector v T . [1] [2]
Declaración
Suponga que A es una matriz cuadrada invertible y u , v son vectores columna . Entonces, el lema del determinante de la matriz establece que
Aquí, uv T es el producto externo de dos vectores u y v .
El teorema también se puede establecer en términos de la matriz adjunta de A :
en cuyo caso se aplica si la matriz cuadrada A es invertible o no .
Prueba
Primero, la prueba del caso especial A = I se sigue de la igualdad: [3]
El determinante del lado izquierdo es el producto de los determinantes de las tres matrices. Dado que la primera y la tercera matriz son matrices triangulares con diagonal unitaria, sus determinantes son solo 1. El determinante de la matriz del medio es nuestro valor deseado. El determinante del lado derecho es simplemente (1 + v T u ). Entonces tenemos el resultado:
Entonces, el caso general se puede encontrar como:
Solicitud
Si el determinante e inversa de A son ya conocidos, la fórmula proporciona un numéricamente barato forma de calcular el determinante de A corregida por la matriz uv T . El cálculo es relativamente barato porque el determinante de A + uv T no tiene que calcularse desde cero (lo que en general es caro). Usando vectores unitarios para u y / o v , las columnas, filas o elementos [4] individuales de A pueden manipularse y un determinante actualizado correspondientemente calculado de esta manera de manera relativamente económica.
Cuando el lema del determinante de la matriz se usa junto con la fórmula de Sherman-Morrison , tanto el inverso como el determinante pueden actualizarse convenientemente juntos.
Generalización
Suponga que A es una matriz n por n invertible y que U , V son matrices n por m . Luego
En el caso especial esta es la identidad Weinstein-Aronszajn .
Dada adicionalmente una matriz W invertible m- por- m , la relación también se puede expresar como
Ver también
- La fórmula de Sherman-Morrison , que muestra cómo actualizar la inversa, A −1 , para obtener ( A + uv T ) −1 .
- La fórmula de Woodbury , que muestra cómo actualizar la inversa, A −1 , para obtener ( A + UCV T ) −1 .
- El teorema de la inversa binomial para ( A + UCV T ) −1 .
Referencias
- ^ Harville, DA (1997). Álgebra de matrices desde la perspectiva de un estadístico . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X.
- ^ Brookes, M. (2005). "The Matrix Reference Manual (en línea)" .
- ^ Ding, J., Zhou, A. (2007). "Autovalores de matrices actualizadas de rango uno con algunas aplicaciones". Letras de matemáticas aplicadas . 20 (12): 1223-1226. doi : 10.1016 / j.aml.2006.11.016 . ISSN 0893-9659 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling (1992). Recetas numéricas en C: el arte de la informática científica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pp. 73 . ISBN 0-521-43108-5.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )