Desigualdad de convolución de Young

En matemáticas , la desigualdad de convolución de Young es una desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones, ^[1] nombradas en honor a William Henry Young .

Declaración

Espacio euclidiano

En un análisis real , el siguiente resultado se llama desigualdad de convolución de Young: ^[2]

Suponga que f está en L ^p ( R ^d ) y g está en L ^q ( R ^d ) y

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$

con 1 ≤ p , q ≤ r ≤ ∞. Luego

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Aquí la estrella denota convolución , L ^p es el espacio de Lebesgue y

${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbf {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$

denota la norma L ^p habitual.

De manera equivalente, si ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ y ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ luego

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\leq \left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$

Generalizaciones

La desigualdad de convolución de Young tiene una generalización natural en la que reemplazamos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$por un grupo unimodular ${\displaystyle G}$. Si dejamos${\displaystyle \mu }$ser una medida de Haar bi-invariante en${\displaystyle G}$ y dejamos ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ser funciones integrables, entonces definimos ${\displaystyle f*g}$ por

${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$

Entonces, en este caso, la desigualdad de Young establece que para ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ y ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ y ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ tal que

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$

tenemos un límite

${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$

De manera equivalente, si ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ y ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ luego

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$

Ya que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ es de hecho un grupo abeliano localmente compacto (y por lo tanto unimodular) con la medida de Lebesgue la medida de Haar deseada, esto es de hecho una generalización.

Aplicaciones

Una aplicación de ejemplo es que la desigualdad de Young se puede usar para mostrar que el semigrupo de calor es un semigrupo que se contrae usando la norma L ² (es decir, la transformada de Weierstrass no agranda la norma L ² ).

Prueba

Prueba de la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Young tiene una prueba elemental con la constante no óptima 1. ^[3]

Suponemos que las funciones ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$ son no negativos e integrables, donde ${\displaystyle G}$ es un grupo unimodular dotado de una medida de Haar bi-invariante ${\displaystyle \mu }$. Usamos el hecho de que${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ para cualquier medible ${\displaystyle S\subset G}$. Ya que${\textstyle p(2-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}})=q(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=r(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}})=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$

Por la desigualdad de Hölder para tres funciones deducimos que

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$

La conclusión sigue entonces por la invariancia a la izquierda de la medida de Haar, el hecho de que las integrales se conservan por inversión del dominio y por el teorema de Fubini .

Prueba por interpolación

La desigualdad de Young también se puede probar por interpolación; vea el artículo sobre la interpolación de Riesz-Thorin para una prueba.

Constante aguda

En el caso p ,  q  > 1, la desigualdad de Young se puede fortalecer a una forma aguda, a través de

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

donde la constante c _{p , q}  <1. ^{[4] [5] [6]} Cuando se alcanza esta constante óptima, la función${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$son funciones gaussianas multidimensionales .

Notas

1. Young, WH (1912), "Sobre la multiplicación de sucesiones de constantes de Fourier", Actas de la Royal Society A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098 / rspa.1912.0086 , JFM  44.0298.02 , JSTOR  93120
2. Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , I , Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR  2267655 , Zbl  1120.28001, Teorema 3.9.4
3. Lieb, Elliott H .; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Postgrado en Matemáticas (2ª ed.). Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 100. ISBN 978-0-8218-2783-3. OCLC  45799429 .
4. Beckner, William (1975). "Desigualdades en el análisis de Fourier". Annals of Mathematics . 102 (1): 159-182. doi : 10.2307 / 1970980 . JSTOR 1970980 . 
5. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H (1 de mayo de 1976). "Mejores constantes en la desigualdad de Young, su recíproco y su generalización a más de tres funciones" . Avances en Matemáticas . 20 (2): 151-173. doi : 10.1016 / 0001-8708 (76) 90184-5 .
6. Fournier, John JF (1977), "Nitidez en la desigualdad de Young para la convolución" , Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140 / pjm.1977.72.383 , MR 0461034 , Zbl 0357.43002  

Enlaces externos

• Desigualdad de Young para las convoluciones en ProofWiki