En análisis matemático , la medida de Haar asigna un "volumen invariante" a subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos , definiendo consecuentemente una integral para funciones en esos grupos.
Esta medida fue introducida por Alfréd Haar en 1933, aunque su caso especial para los grupos de Lie había sido introducido por Adolf Hurwitz en 1897 con el nombre de "integral invariante". [1] [2] Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis , teoría de números , teoría de grupos , teoría de la representación , estadística , teoría de la probabilidad y teoría ergódica .
Preliminares
Dejar Ser un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto . La -álgebra generada por todos los subconjuntos abiertos dese llama álgebra de Borel . Un elemento del álgebra de Borel se llama conjunto de Borel . Si es un elemento de y es un subconjunto de , luego definimos las traducciones izquierda y derecha depor g de la siguiente manera:
- Traducir a la izquierda:
- Traducir a la derecha:
Izquierda y derecha traduce los conjuntos de mapas de Borel a conjuntos de Borel.
Una medida en los subconjuntos Borel de se llama invariante de traducción a la izquierda si para todos los subconjuntos de Borel y todo uno tiene
Una medida en los subconjuntos Borel de se llama invariante de traducción a la derecha si para todos los subconjuntos de Borel y todo uno tiene
Teorema de haar
Existe, hasta una constante multiplicativa positiva, una única medida no trivial, contable , aditiva en los subconjuntos Borel de satisfaciendo las siguientes propiedades:
- La medida es invariante en traducción a la izquierda: para cada y todos los conjuntos de Borel .
- La medida es finito en cada conjunto compacto: para todo compacto .
- La medida es regular exterior en conjuntos Borel:
- La medida es interior regular en sets abiertos:
Tal medida en se llama medida Haar izquierda. Se puede demostrar como consecuencia de las propiedades anteriores que para cada subconjunto abierto no vacío . En particular, si es compacto entonces es finito y positivo, por lo que podemos especificar de forma única una medida de Haar izquierda en agregando la condición de normalización .
En completa analogía, también se puede probar la existencia y unicidad de una medida correcta de Haar en. No es necesario que las dos medidas coincidan.
Algunos autores definen una medida de Haar en conjuntos de Baire en lugar de conjuntos de Borel. Esto hace que las condiciones de regularidad sean innecesarias ya que las medidas de Baire son automáticamente regulares. Halmos [3] utiliza de manera bastante confusa el término "conjunto de Borel" para los elementos del-ring generado por conjuntos compactos, y define las medidas de Haar en estos conjuntos.
La medida de Haar izquierda satisface la condición de regularidad interna para todos -conjuntos de Borel finitos , pero es posible que no sean regulares internos para todos los conjuntos de Borel. Por ejemplo, el producto del círculo unitario (con su topología habitual) y la línea real con la topología discreta es un grupo localmente compacto con la topología del producto y una medida de Haar en este grupo no es regular interna para el subconjunto cerrado.. (Los subconjuntos compactos de este segmento vertical son conjuntos finitos y los puntos tienen medida, por lo que la medida de cualquier subconjunto compacto de este segmento vertical es . Pero, usando la regularidad externa, se puede mostrar que el segmento tiene una medida infinita).
La existencia y unicidad (hasta la escala) de una medida de Haar izquierda fue probada por primera vez con total generalidad por André Weil . [4] La prueba de Weil utilizó el axioma de elección y Henri Cartan proporcionó una prueba que evitó su uso. [5] La prueba de Cartan también establece la existencia y la unicidad simultáneamente. Alfsen dio una explicación simplificada y completa del argumento de Cartan en 1963. [6] El caso especial de medida invariante para grupos compactos localmente contables en segundo lugar había sido mostrado por Haar en 1933. [1]
Ejemplos de
- Si es un grupo discreto , entonces los subconjuntos compactos coinciden con los subconjuntos finitos, y una medida de Haar (invariante izquierda y derecha) enes la medida del conteo .
- La medida de Haar en el grupo topológico que toma el valor en el intervalo es igual a la restricción de la medida de Lebesgue a los subconjuntos de Borel de. Esto se puede generalizar a
- Para definir una medida Haar en el grupo del círculo , considera la función de sobre definido por . Luego puede ser definido por
- Si es el grupo de números reales positivos bajo multiplicación, luego una medida de Haar es dado por
- Si es el grupo de números reales distintos de cero con la multiplicación como operación, luego una medida de Haar es dado por
- Para el grupo lineal general , cualquier medida de Haar izquierda es una medida de Haar derecha y una de esas medidas es dado por
- Generalizando los tres ejemplos anteriores, si el grupo se representa como una subvariedad abierta de con operaciones de grupo fluidas, luego una medida de Haar izquierda en es dado por , dónde es el determinante jacobiano de la multiplicación por la izquierda por y es la medida de Lebesgue en . Esto se deriva de la fórmula del cambio de variables . Una medida correcta de Haar se da de la misma manera, excepto con siendo el jacobiano de la multiplicación correcta por .
- Dejar ser el conjunto de todas las transformaciones lineales afines de la forma para algunos arreglados con Asociar con el funcionamiento de la composición de funciones , que gira en un grupo no abeliano. se puede identificar con el semiplano derecho bajo el cual la operación de grupo se convierte Una medida de Haar invariante a la izquierda (respectivamente, una medida de Haar invariante a la derecha ) en es dado por
- y
- En cualquier grupo de mentiras de dimensión una medida de Haar izquierda se puede asociar con cualquier invariante a la izquierda distinto de cero D {\ Displaystyle d} -formulario , como la medida de Lebesgue ; y lo mismo para las medidas correctas de Haar. Esto significa también que la función modular se puede calcular, como el valor absoluto del determinante de la representación adjunta .
- La hipérbola de la unidad se puede tomar como un grupo en la multiplicación definida como con números complejos divididos La medida de área habitual en la media luna.sirve para definir el ángulo hiperbólico como el área de su sector hiperbólico . La medida de Haar de la hipérbola unitaria se genera mediante el ángulo hiperbólico de los segmentos de la hipérbola. Por ejemplo, la medida de una unidad viene dada por el segmento que va de (1,1) a (e, 1 / e), donde e es el número de Euler . El ángulo hiperbólico se ha aprovechado en física matemática con rapidez en sustitución de la velocidad clásica .
- Si es el grupo de cuaterniones distintos de cero , entonces puede verse como un subconjunto abierto de . Una medida de Haar es dado por
- Si es el grupo aditivo de pag {\ Displaystyle p} -números ádicos para un primo, entonces se da una medida de Haar dejando tener medida , dónde es el anillo de -enteros ádicos.
Construcción de la medida Haar
Una construcción que utiliza subconjuntos compactos
El siguiente método para construir la medida de Haar es esencialmente el método utilizado por Haar y Weil.
Para cualquier subconjunto con no vacío definir para ser el menor número de traducciones a la izquierda de esa tapa (por lo que este es un número entero no negativo o infinito). Esto no es aditivo en conjuntos compactos., aunque tiene la propiedad de que para conjuntos compactos separados siempre que es un barrio abierto suficientemente pequeño de la identidad (dependiendo de y ). La idea de la medida de Haar es tomar una especie de límite de como se vuelve más pequeño para hacerlo aditivo en todos los pares de conjuntos compactos disjuntos, aunque primero debe normalizarse para que el límite no sea solo infinito. Así que arregla un conjunto compacto con interior no vacío (que existe porque el grupo es localmente compacto) y para un conjunto compacto definir
donde el límite se apodera de un conjunto dirigido adecuado de vecindarios abiertos de la identidad eventualmente contenidos en cualquier vecindario dado; la existencia de un conjunto dirigido tal que existe el límite se sigue usando el teorema de Tychonoff .
La función es aditivo en subconjuntos compactos disjuntos de , lo que implica que es un contenido regular . A partir de un contenido regular, se puede construir una medida ampliando primeropara abrir conjuntos por regularidad interna, luego a todos los conjuntos por regularidad externa, y luego restringirlo a conjuntos de Borel. (Incluso para sets abiertos, la medida correspondiente no es necesario que se administre mediante la fórmula de lim sup anterior. El problema es que la función dada por la fórmula lim sup no es numerablemente subaditiva en general y, en particular, es infinita en cualquier conjunto sin cierre compacto, por lo que no es una medida externa).
Una construcción que utiliza funciones de soporte compacto
Cartan introdujo otra forma de construir la medida de Haar como medida de radón (un funcional lineal positivo en funciones continuas con soporte compacto) que es similar a la construcción anterior, excepto que, , y son funciones continuas positivas de soporte compacto en lugar de subconjuntos de . En este caso definimos ser el mínimo de números tal que es menor que la combinación lineal de izquierda se traduce de para algunos . Como antes definimos
- .
El hecho de que exista el límite requiere cierto esfuerzo para probarlo, aunque la ventaja de hacerlo es que la prueba evita el uso del axioma de elección y también da unicidad a la medida de Haar como un subproducto. El funcionalse extiende a un funcional lineal positivo en funciones continuas soportadas de forma compacta y, por lo tanto, da una medida de Haar. (Tenga en cuenta que aunque el límite es lineal en, los términos individuales no suelen ser lineales en .)
Una construcción que usa valores medios de funciones
Von Neumann dio un método para construir la medida de Haar usando valores medios de funciones, aunque solo funciona para grupos compactos. La idea es que dada una funciónen un grupo compacto, se puede encontrar una combinación convexa (dónde ) de su izquierda traduce que difiere de una función constante en como máximo un pequeño número . Entonces uno muestra que como tiende a cero los valores de estas funciones constantes tienden a un límite, que se llama valor medio (o integral) de la función .
Para grupos que son localmente compactos pero no compactos, esta construcción no proporciona una medida de Haar ya que el valor medio de las funciones con soporte compacto es cero. Sin embargo, algo como esto funciona para funciones casi periódicas en el grupo que tienen un valor medio, aunque esto no se da con respecto a la medida de Haar.
Una construcción sobre grupos de mentiras
En un grupo de Lie n- dimensional, la medida de Haar se puede construir fácilmente como la medida inducida por una forma n invariante a la izquierda . Esto se conocía antes del teorema de Haar.
La medida correcta de Haar
También se puede probar que existe una medida de Borel única (hasta la multiplicación por una constante positiva) invariante de traducción a la derecha Satisfacer las condiciones de regularidad anteriores y ser finito en conjuntos compactos, pero no es necesario que coincida con la medida invariante de traslación a la izquierda . Las medidas de Haar izquierda y derecha son las mismas solo para los llamados grupos unimodulares (ver más abajo). Sin embargo, es bastante sencillo encontrar una relación entre y .
De hecho, para un set de Borel , denotemos por el conjunto de inversas de elementos de . Si definimos
entonces esta es una medida correcta de Haar. Para mostrar la invariancia correcta, aplique la definición:
Debido a que la medida correcta es única, se sigue que es un múltiplo de y entonces
para todos los sets de Borel , dónde es una constante positiva.
La función modular
La traducción a la izquierda de una medida de Haar derecha es una medida de Haar derecha. Más precisamente, si es una medida correcta de Haar, entonces
también es invariante a la derecha. Así, por unicidad hasta un factor de escala constante de la medida de Haar, existe una funcióndel grupo a los reales positivos, llamado módulo de Haar , función modular o carácter modular , de modo que para cada conjunto de Borel
Dado que la medida de Haar derecha está bien definida hasta un factor de escala positivo, esta ecuación muestra que la función modular es independiente de la elección de la medida de Haar derecha en la ecuación anterior.
La función modular es un homomorfismo de grupo continuo en el grupo multiplicativo de números reales positivos . Un grupo se llama unimodular si la función modular es idénticao, de manera equivalente, si la medida de Haar es invariante tanto a la izquierda como a la derecha. Los ejemplos de grupos unimodulares son grupos abelianos , grupos compactos , grupos discretos (por ejemplo, grupos finitos ), grupos de Lie semisimples y conectados grupos de Lie nilpotentes . [ cita requerida ] Un ejemplo de un grupo no unimodular es el grupo de transformaciones afines
en la línea real. Este ejemplo muestra que un grupo de Lie con solución no tiene por qué ser unimodular. En este grupo, una medida de Haar izquierda viene dada por, y una medida correcta de Haar por .
Medidas en espacios homogéneos
Si el grupo compacto local actúa transitivamente sobre un espacio homogéneo , uno puede preguntarse si este espacio tiene una medida invariante, o más generalmente una medida semi-invariante con la propiedad de que para algun personaje de . Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal medida es que la restricción es igual a , dónde y son las funciones modulares de y respectivamente. En particular, una medida invariante en existe si y solo si la función modular de prohibido para es la función modular de .
Ejemplo
Si es el grupo y es el subgrupo de matrices triangulares superiores, entonces la función modular de no es trivial, pero la función modular de es trivial. El cociente de estos no puede extenderse a ningún carácter de, entonces el espacio del cociente (que se puede considerar como un espacio proyectivo real unidimensional ) ni siquiera tiene una medida semi-invariante.
Haar integral
Usando la teoría general de la integración de Lebesgue , se puede definir una integral para todas las funciones medibles de Borel en . Esta integral se llama integral de Haar y se denota como:
dónde es la medida de Haar.
Una propiedad de una medida de Haar izquierda es eso, dejar ser un elemento de , lo siguiente es válido:
para cualquier función integrable de Haar en . Esto es inmediato para las funciones del indicador :
que es esencialmente la definición de invariancia a la izquierda.
Usos
En el mismo número de Annals of Mathematics e inmediatamente después del artículo de Haar, John von Neumann utilizó el teorema de Haar para resolver el quinto problema de Hilbert para grupos compactos . [7]
A no ser que es un grupo discreto, es imposible definir una medida regular invariante a la izquierda aditiva contable en todos los subconjuntos de, asumiendo el axioma de elección , según la teoría de conjuntos no medibles .
Análisis armónico abstracto
Las medidas de Haar se utilizan en el análisis armónico de grupos localmente compactos, particularmente en la teoría de la dualidad de Pontryagin . [8] [9] [10] Para probar la existencia de una medida Haar en un grupo localmente compactobasta con exhibir una medida de radón invariante a la izquierda en.
Estadística matemática
En estadística matemática, las medidas de Haar se utilizan para medidas previas, que son probabilidades previas para grupos compactos de transformaciones. Estas medidas previas se utilizan para construir procedimientos admisibles , apelando a la caracterización de procedimientos admisibles como procedimientos bayesianos (o límites de los procedimientos bayesianos) por Wald . Por ejemplo, una medida de Haar derecha para una familia de distribuciones con un parámetro de ubicación da como resultado el estimador de Pitman , que es mejor equivariante . Cuando las medidas de Haar izquierda y derecha difieren, normalmente se prefiere la medida derecha como distribución previa. Para el grupo de transformaciones afines en el espacio de parámetros de la distribución normal, la medida de Haar derecha es la medida previa de Jeffreys . [11] Desafortunadamente, incluso las medidas correctas de Haar a veces resultan en antecedentes inútiles, que no pueden recomendarse para uso práctico, como otros métodos de construir medidas previas que evitan información subjetiva. [12]
Otro uso de la medida de Haar en estadística es la inferencia condicional , en la que la distribución muestral de una estadística está condicionada a otra estadística de los datos. En la inferencia condicional teórica invariante, la distribución muestral está condicionada a una invariante del grupo de transformaciones (con respecto al cual se define la medida de Haar). El resultado del condicionamiento depende a veces del orden en el que se utilizan los invariantes y de la elección de un invariante máximo , de modo que por sí mismo un principio estadístico de invariancia no selecciona ningún mejor estadístico condicional único (si existe alguno); se necesita al menos otro principio.
Para los grupos no compactos, los estadísticos han ampliado los resultados de la medida de Haar utilizando grupos susceptibles . [13]
Teorema inverso de Weil
En 1936, André Weil demostró ser contrario (en cierto modo) al teorema de Haar, al mostrar que si un grupo tiene una medida invariante a la izquierda con una cierta propiedad de separación , [3] entonces se puede definir una topología en el grupo y la finalización de la grupo es localmente compacto y la medida dada es esencialmente la misma que la medida de Haar en esta terminación.
Ver también
- Dualidad Pontryagin
- Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani
Notas
- ↑ a b Haar, A. (1933), "Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, 34 (1), págs. 147-169, doi : 10.2307 / 1968346 , JSTOR 1968346
- ^ MI James, Historia de la topología, p.186
- ^ a b Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . Nueva York: Springer Science + Business Media. pag. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6.
- ^ Weil, André (1940), L'integration dans les groupes topologiques et ses applications , Actualités Scientifiques et Industrielles, 869 , París: Hermann
- ^ Cartan, Henri (1940), "Sur la mesure de Haar", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762
- ^ Alfsen, EM (1963), "Una prueba constructiva simplificada de la existencia y unicidad de la medida de Haar" , Math. Scand. , 12 : 106-116
- ^ von Neumann, J. (1933), "Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, 34 (1), pp. 170-179, doi : 10.2307 / 1968347 , JSTOR 1968347
- ^ Banaszczyk, Wojciech (1991). Subgrupos aditivos de espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas. 1466 . Berlín: Springer-Verlag. págs. viii + 178. ISBN 3-540-53917-4. Señor 1119302 .
- ^ Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Kharkov (Kharkiv), Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
- ^ Charles F. Dunkl y Donald E. Ramirez: Temas en análisis armónico . Appleton-Century-Crofts. 1971. ISBN 039027819X.
- ^ Berger, James O. (1985), "6 invarianza", teoría de la decisión estadística y análisis bayesiano (segunda ed.), Springer Verlag, págs. 388-432
- ^ Robert, Christian P (2001). La elección bayesiana: una motivación teórica de decisiones (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-94296-3.
- ^ Bondar, James V .; Milnes, Paul (1981). "Amenaza: una encuesta para aplicaciones estadísticas de Hunt-Stein y condiciones relacionadas en grupos". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 57 : 103-128. doi : 10.1007 / BF00533716 .
Otras lecturas
- Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), Las alegrías de la medida de Haar , Estudios de posgrado en matemáticas, 150 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR 3186070
- Loomis, Lynn (1953), Introducción al análisis armónico abstracto , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027 / uc1.b4250788.
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Análisis armónico abstracto. Vol. I: Estructura de grupos topológicos. Teoría de la integración, representaciones grupales. , Die Grundlehren der Mathischen Wissenschaften, 115 , Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0156915
- Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral , Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand
- André Weil , Teoría básica de números , Academic Press, 1971.
enlaces externos
- La existencia y singularidad de la integral de Haar en un grupo topológico localmente compacto - por Gert K. Pedersen
- Sobre la existencia y singularidad de medidas invariantes en grupos localmente compactos - por Simon Rubinstein-Salzedo