Si, además, p , q ∈ (1, ∞) y f ∈ L p ( μ ) y g ∈ L q ( μ ) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en una igualdad si f | f | p y | g | q son linealmente dependientes en L 1 ( μ ) , lo que significa que existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, tales que α | f | p = β | g | q μ - casi en todas partes .
El número p y q anteriormente se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 da una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . La desigualdad de Hölder se mantiene incluso si || fg || 1 es infinito, el lado derecho también es infinito en ese caso. Por el contrario, si f está en L p ( μ ) y g está en L q ( μ ) , entonces el producto puntual fg está en L 1 ( μ ) .
La desigualdad de Hölder se utiliza para demostrar la desigualdad de Minkowski , que es la desigualdad del triángulo en el espacio L p ( μ ) , y también para establecer que L q ( μ ) es el espacio dual de L p ( μ ) para p ∈ [1, ∞) .
La breve declaración de la desigualdad de Hölder utiliza algunas convenciones.
En la definición de conjugados de Hölder, 1 / ∞ significa cero.
Si p , q ∈ [1, ∞) , entonces || f || p y || g || q representan las expresiones (posiblemente infinitas)
Si p = ∞ , entonces || f || ∞ representa el supremo esencial de | f | , de manera similar para || g || ∞ .
La notación || f || p con 1 ≤ p ≤ ∞ es un abuso leve, porque en general es solo una norma de f si || f || p es finito y f se considera una clase de equivalencia de μ -casi en todas partes funciones iguales. Si f ∈ L p ( μ ) y g ∈ L q ( μ ) , entonces la notación es adecuada.
En el lado derecho de la desigualdad de Hölder, 0 × ∞ y ∞ × 0 significan 0. Multiplicar a > 0 con ∞ da ∞.
Estimaciones para productos integrables
Como el anterior, dejar que f y g denotan medible real o funciones complejas definidas en S . Si || fg || 1 es finito, entonces los productos puntuales de f con gy su función conjugada compleja son μ -integrables, la estimación
y el similar para fg hold, y la desigualdad de Hölder se puede aplicar al lado derecho. En particular, si f y g están en el espacio de Hilbert L 2 ( μ ) , entonces la desigualdad de soporte para p = q = 2 implica
donde los paréntesis angulares se refieren al producto interno de L 2 ( μ ) . Esto también se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz , pero requiere para su enunciado que || f || 2 y || g || 2 son finitos para asegurarse de que el producto interno de f y g está bien definida. Podemos recuperar la desigualdad original (para el caso p = 2 ) usando las funciones | f | y | g | en lugar de f y g .
Generalización para medidas de probabilidad
Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad , entonces p , q ∈ [1, ∞] solo necesita satisfacer 1 / p + 1 / q ≤ 1 , en lugar de ser conjugados de Hölder. Una combinación de la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Jensen implica que
para todas las funciones real o con valores complejos medibles f y g en S .
Casos especiales notables
Para los siguientes casos suponer que p y q se encuentran en el intervalo abierto (1, ∞) con 1 / p + 1 / q = 1 .
A menudo se utiliza la siguiente forma práctica de esto, para cualquier :
Si S = N con la medida de conteo, obtenemos la desigualdad de Hölder para los espacios de secuencia :
Medida de Lebesgue
Si S es un subconjunto medible de R n con la medida de Lebesgue , y f y g son funciones medibles de valor real o complejo en S , entonces la desigualdad de Hölder es
Dejar y definir Luego es el conjugado de Hölder de Aplicando la desigualdad de Hölder a las variables aleatorias y obtenemos
En particular, si la s º absoluta momento es finito, entonces el r ésimo momento absoluto es finito, también. (Esto también se deriva de la desigualdad de Jensen ).
donde S es el producto cartesiano de S 1 y S 2 , el σ-álgebra Σ surge como el producto σ-álgebra de Σ 1 y Σ 2 , y μ denota la medida del producto μ 1 y μ 2 . Entonces el teorema de Tonelli nos permite reescribir la desigualdad de Hölder utilizando integrales iteradas: Si f y g son Σ -medible real o funciones de valor complejo en el producto cartesiano S , entonces
Esto se puede generalizar a más de dos espacios de medida finitos σ .
Funciones con valores vectoriales
Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida σ-finito y suponga que f = ( f 1 , ..., f n ) y g = ( g 1 , ..., g n ) son funciones Σ- medibles en S , tomando valores en el espacio euclidiano n -dimensional real o complejo. Al tomar el producto con la medida de conteo en {1, ..., n } , podemos reescribir la versión anterior de la medida del producto de la desigualdad de Hölder en la forma
Si las dos integrales del lado derecho son finitas, entonces la igualdad es válida si y solo si existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, de modo que
para μ -casi todo x en S .
Este finitos-dimensional versión generaliza a funciones f y g que toma valores en un espacio normado , que podría ser por ejemplo un espacio de secuencia o un espacio con producto interno .
Prueba de la desigualdad de Hölder
Hay varias pruebas de la desigualdad de Hölder; la idea principal a continuación es la desigualdad de Young para los productos .
Prueba -
Si || f || p = 0 , entonces f es cero μ - casi en todas partes, y el producto fg es cero μ - casi en todas partes, por lo tanto, el lado izquierdo de la desigualdad de Hölder es cero. Lo mismo es cierto si || g || q = 0 . Por lo tanto, podemos asumir || f || p > 0 y || g || q > 0 en lo siguiente.
Si || f || p = ∞ o || g || q = ∞ , entonces el lado derecho de la desigualdad de Hölder es infinito. Por lo tanto, podemos suponer que || f || p y || g || q están en (0, ∞) .
Si p = ∞ y q = 1 , entonces | fg | ≤ || f || ∞ | g | casi en todas partes y la desigualdad de Hölder se deriva de la monotonicidad de la integral de Lebesgue. De manera similar para p = 1 y q = ∞ . Por lo tanto, también podemos asumir p , q ∈ (1, ∞) .
La división de f y g por || f || p y || g || q , respectivamente, podemos suponer que
Ahora usamos la desigualdad de Young para productos , que establece que
para todos no negativo una y b , donde se consigue la igualdad si y sólo si una p = b q . Por eso
Integrar ambos lados da
lo que prueba la afirmación.
Bajo los supuestos p ∈ (1, ∞) y || f || p = || g || q , la igualdad se cumple si y solo si | f | p = | g | q casi en todas partes. De manera más general, si || f || p y || g || q están en (0, ∞) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en una igualdad si y solo si existen números reales α , β > 0 , es decir
tal que
μ -casi en todas partes (*).
El caso || f || p = 0 corresponde a β = 0 en (*). El caso || g || q = 0 corresponde a α = 0 en (*).
Prueba alternativa usando la desigualdad de Jensen
Recuerde la desigualdad de Jensen para la función convexa (es convexo porque obviamente ):
donde ν es cualquier distribución de probabilidad y h cualquier función ν medible. Sea μ cualquier medida, y ν la distribución cuya densidad wrt μ es proporcional a, es decir
Por lo tanto tenemos, usando , por eso y dejando ,
Finalmente, obtenemos
Esto supone que f , g es real y no negativo, pero la extensión a funciones complejas es sencilla (use el módulo de f , g ). También asume que no son ni nulos ni infinitos, y que : todas estas suposiciones también se pueden eliminar como en la prueba anterior.
Igualdad extrema
Declaración
Suponga que 1 ≤ p <∞ y sea q denote el conjugado de Hölder. Entonces, para cada f ∈ L p ( μ ) ,
donde max indica que en realidad hay una g maximizando el lado derecho. Cuando p = ∞ y si cada conjunto A en el σ-campo Σ con μ ( A ) = ∞ contiene un subconjunto B ∈ Σ con 0 < μ ( B ) <∞ (lo cual es cierto en particular cuando μ es σ-finito ) , luego
Prueba de la igualdad extrema
Por la desigualdad de Hölder, las integrales están bien definidas y, para 1 ≤ p ≤ ∞ ,
por tanto, el lado izquierdo siempre está delimitado por encima del lado derecho.
A la inversa, para 1 ≤ p ≤ ∞ , observe primero que la afirmación es obvia cuando || f || p = 0 . Por lo tanto, asumimos || f || p > 0 en lo siguiente.
Si 1 ≤ p <∞ , defina g en S por
Al verificar los casos p = 1 y 1 < p <∞ por separado, vemos que || g || q = 1 y
Queda por considerar el caso p = ∞ . Para ε ∈ (0, 1) defina
Dado que f es medible, A ∈ Σ . Por la definición de || f || ∞ como el supremo esencial de fy el supuesto || f || ∞ > 0 , tenemos μ ( A )> 0 . Usando la suposición adicional en el σ-campo Σ si es necesario, existe un subconjunto B ∈ Σ de A con 0 < μ ( B ) <∞ . Defina g en S por
Entonces g está bien definido, medible y | g ( x ) | ≤ 1 / μ ( B ) para x ∈ B , por lo tanto || g || 1 ≤ 1 . Además,
Observaciones y ejemplos
La igualdad para falla siempre que existe un conjunto de infinita medida en el -campo con eso no tiene subconjunto que satisface: (el ejemplo más simple es el -campo que contiene solo el conjunto vacío y y la medida con ) Entonces la función del indicador satisface pero cada tiene que ser -Casi en todas partes constante en porque es -medible, y esta constante tiene que ser cero, porque es -integrable. Por lo tanto, el superior anterior para la función de indicador es cero y la igualdad extrema falla.
Para el supremo en general no se alcanza. Como ejemplo, dejemos y la medida de conteo. Definir:
Luego Para con dejar denotar el número natural más pequeño con Luego
Aplicaciones
La igualdad extrema es una de las formas de probar la desigualdad del triángulo || f 1 + f 2 || p ≤ || f 1 || p + || f 2 || p para todo f 1 y f 2 en L p ( μ ) , consulte la desigualdad de Minkowski .
La desigualdad de Hölder implica que cada f ∈ L p ( μ ) define un κ f funcional lineal acotado (o continuo) en L q ( μ ) mediante la fórmula
La igualdad extrema (cuando es verdadera) muestra que la norma de este funcional κ f como elemento del espacio dual continuo L q ( μ ) * coincide con la norma de f en L p ( μ ) (ver también el artículo L p -espacio ).
Generalización de la desigualdad de Hölder
Suponga que r ∈ (0, ∞] y p 1 ,…, p n ∈ (0, ∞] tal que
donde 1 / ∞ se interpreta como 0 en esta ecuación. Entonces, para todas las funciones medibles reales o de valor complejo f 1 ,…, f n definidas en S ,
donde interpretamos cualquier producto con un factor de ∞ como ∞ si todos los factores son positivos, pero el producto es 0 si algún factor es 0.
En particular, si para todos luego
Nota: paracontrariamente a la notación, || . || r en general no es una norma porque no satisface la desigualdad del triángulo .
Prueba de la generalización
Usamos la desigualdad y la inducción matemática de Hölder . Sientonces el resultado es inmediato. Pasemos ahora de a Sin pérdida de generalidad, supongamos que
Caso 1: Si luego
Sacando el supremo esencial de | f n | y usando la hipótesis de inducción, obtenemos
Caso 2: Si entonces necesariamente también, y luego
son conjugados de Hölder en (1, ∞) . La aplicación de la desigualdad de Hölder da
Subiendo al poder y reescribiendo,
Desde y
la pretendida desigualdad se sigue ahora mediante el uso de la hipótesis de inducción.
Interpolación
Sea p 1 , ..., p n ∈ (0, ∞] y sea θ 1 , ..., θ n ∈ (0, 1) los pesos con θ 1 + ... + θ n = 1. Definircomo la media armónica ponderada , es decir,
Dadas funciones medibles de valor real o complejo en S , entonces la generalización anterior de la desigualdad de Hölder da
En particular, tomando da
Especificando más θ 1 = θ y θ 2 = 1- θ , en el casoobtenemos el resultado de la interpolación (desigualdad de Littlewood)
por y
Una aplicación de Hölder da la desigualdad de Lyapunov: Si
luego
y en particular
Tanto Littlewood como Lyapunov dan a entender que si luego para todos
Desigualdad de Hölder inversa
Suponga que p ∈ (1, ∞) y que el espacio de medida ( S , Σ, μ ) satisface μ ( S )> 0 . Entonces, para todas las funciones medibles de valor real o complejo f y g en S tales que g ( s ) ≠ 0 para μ -casi todos los s ∈ S ,
Si
entonces la desigualdad de Hölder inversa es una igualdad si y solo si
Nota: las expresiones:
no son normas, son solo notaciones compactas para
Prueba de la desigualdad de Hölder inversa
Tenga en cuenta que p y
son conjugados de Hölder. La aplicación de la desigualdad de Hölder da
Subir a la potencia p nos da:
Por lo tanto:
Ahora solo necesitamos recordar nuestra notación.
Dado que g no es casi en todas partes igual a la función cero, podemos tener igualdad si y solo si existe una constante α ≥ 0 tal que | fg | = α | g | - q / p casi en todas partes. Resolver para el valor absoluto de f da la afirmación.
Desigualdad condicional de Hölder
Sea (Ω, F , ℙ) un espacio de probabilidad, G ⊂ F una sub- σ-álgebra , y p , q ∈ (1, ∞) Hölder se conjuga, lo que significa que 1 / p + 1 / q = 1 . Entonces, para todas las variables aleatorias de valor real o complejo X e Y en Ω ,
Observaciones:
Si una variable aleatoria no negativa Z tiene un valor esperado infinito , entonces su expectativa condicional se define por
En el lado derecho de la desigualdad condicional de Hölder, 0 por ∞ y ∞ por 0 significa 0. Multiplicar a > 0 con ∞ da ∞.
Prueba de la desigualdad condicional de Hölder
Definir las variables aleatorias
y tenga en cuenta que son medibles con respecto a la sub-σ-álgebra . Desde
se sigue que | X | = 0 como en el conjunto { U = 0} . Del mismo modo, | Y | = 0 como en el conjunto { V = 0} , por lo tanto
y la desigualdad condicional de Hölder se mantiene en este conjunto. En el set
el lado derecho es infinito y la desigualdad condicional de Hölder también se cumple. Dividiendo por el lado derecho, queda por tanto mostrar que
Esto se hace verificando que la desigualdad se mantenga después de la integración sobre un arbitrario
Usando la mensurabilidad de U, V, 1 G con respecto a la sub-σ-álgebra , las reglas para expectativas condicionales, la desigualdad de Hölder y 1 / p + 1 / q = 1 , vemos que
La desigualdad de Hölder para el aumento de seminarios
Sea S un conjunto y dejemosser el espacio de todas las funciones de valor complejo en S . Sea N una seminorma creciente en lo que significa que, para todas las funciones de valor real tenemos la siguiente implicación (a la seminorm también se le permite alcanzar el valor ∞):
Luego:
donde los numeros y son conjugados de Hölder. [1]
Observación: Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de medida y es la integral de Lebesgue superior de entonces la restricción de N a todas las funciones Σ- medibles da la versión habitual de la desigualdad de Hölder.
Ver también
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Minkowski
La desigualdad de Jensen
La desigualdad de Young por los productos
Desigualdades de Clarkson
Desigualdad de Brascamp-Lieb
Citas
↑ Para una prueba, ver ( Trèves 1967 , Lemma 20.1, pp. 205-206).
Referencias
Grinshpan, AZ (2010), "Desigualdades ponderadas y binomios negativos", Advances in Applied Mathematics , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016 / j.aam.2010.04.004
Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1934), Desigualdades , Cambridge University Press , págs. XII + 314, ISBN 0-521-35880-9, JFM 60.0169.01 , Zbl 0010.10703.
Hölder, O. (1889), "Ueber einen Mittelwertsatz" , Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band (en alemán), 1889 (2): 38–47, JFM 21.0260.07. Disponible en Digi Zeitschriften .
Kuptsov, LP (2001) [1994], "Desigualdad de Hölder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Rogers, LJ (febrero de 1888), "Una extensión de un cierto teorema en las desigualdades" , Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145-150, JFM 20.0254.02 , archivado desde el original el 21 de agosto de 2007.
Trèves, François (1967), Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos , Matemática pura y aplicada. Una serie de monografías y libros de texto, 25 , Nueva York, Londres: Academic Press, MR 0225131 , Zbl 0171.10402.
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
enlaces externos
Kuttler, Kenneth (2007), Introducción al álgebra lineal (PDF) , Libro electrónico en línea en formato PDF, Universidad Brigham Young.
Lohwater, Arthur (1982), Introducción a las desigualdades (PDF).
Tisdell, Chris (2012), Desigualdad de Holder , video en línea en el canal de YouTube del Dr. Chris Tisdell.