En matemáticas , la transformada de Weierstrass [1] de una función f : R → R , llamada así por Karl Weierstrass , es una versión "suavizada" de f ( x ) obtenida promediando los valores de f , ponderados con un gaussiano centrado en x .
Específicamente, es la función F definida por
la convolución de f con la función gaussiana
El factor 1 / √ (4 π ) se elige de modo que el gaussiano tenga una integral total de 1, con la consecuencia de que las funciones constantes no se modifican por la transformada de Weierstrass.
En lugar de F ( x ) también se escribe W [ f ] ( x ) . Tenga en cuenta que no es necesario que F ( x ) exista para cada número real x , cuando la integral definitoria no converge.
La transformada de Weierstrass está íntimamente relacionada con la ecuación de calor (o, de manera equivalente, la ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante). Si la función f describe la temperatura inicial en cada punto de una varilla de longitud infinita que tiene constante conductividad térmica igual a 1, entonces la distribución de la temperatura de la varilla de t = 1 unidades de tiempo más tarde será dada por la función F . Usando valores de t diferentes de 1, podemos definir la transformada de Weierstrass generalizada de f .
La transformada de Weierstrass generalizada proporciona un medio para aproximar una función integrable dada f arbitrariamente bien con funciones analíticas .
Nombres
Weierstrass usó esta transformada en su demostración original del teorema de aproximación de Weierstrass . También se la conoce como la transformada de Gauss o la transformada de Gauss-Weierstrass después de Carl Friedrich Gauss y como la transformada de Hille después de Einar Carl Hille, quien la estudió ampliamente. La generalización W t que se menciona a continuación se conoce en el análisis de señales como un filtro gaussiano y en el procesamiento de imágenes (cuando se implementa en R 2 ) como un desenfoque gaussiano .
Transformaciones de algunas funciones importantes
Como se mencionó anteriormente, cada función constante es su propia transformada de Weierstrass. La transformada de Weierstrass de cualquier polinomio es un polinomio del mismo grado y, de hecho, el mismo coeficiente principal (el crecimiento asintótico no cambia). De hecho, si H n denota el polinomio de Hermite (del físico) de grado n , entonces la transformada de Weierstrass de H n ( x / 2) es simplemente x n . Esto se puede demostrar aprovechando el hecho de que la función generadora de los polinomios de Hermite está estrechamente relacionada con el núcleo de Gauss utilizado en la definición de la transformada de Weierstrass.
La transformada de Weierstrass de la función e ax (donde a es una constante arbitraria) es e a 2 e ax . La función e ax es, por tanto, una función propia de la transformada de Weierstrass. (Esto es, de hecho, más generalmente cierto para todas las transformadas de convolución).
Estableciendo a = bi donde i es la unidad imaginaria , y aplicando la identidad de Euler , se ve que la transformada de Weierstrass de la función cos ( bx ) es e - b 2 cos ( bx ) y la transformada de Weierstrass de la función sin ( bx ) es e - b 2 pecado ( bx ).
La transformada de Weierstrass de la función e ax 2 es
- si a <1/4 e indefinido si a ≥ 1/4.
En particular, al elegir un negativo, es evidente que la transformada de Weierstrass de una función gaussiana es nuevamente una función gaussiana, pero "más amplia".
Propiedades generales
La transformada de Weierstrass asigna a cada función f una nueva función F ; esta asignación es lineal . También es invariante en traducción, lo que significa que la transformada de la función f ( x + a ) es F ( x + a ). Ambos hechos son más generalmente ciertos para cualquier transformada integral definida mediante convolución.
Si la transformada F ( x existe) para los números reales x = un y x = b , entonces también existe para todos los valores reales en el medio y forma una función analítica allí; además, F ( x ) existirá para todos los valores complejos de x con a ≤ Re ( x ) ≤ by forma una función holomórfica en esa franja del plano complejo . Esta es la declaración formal de la "suavidad" de F mencionada anteriormente.
Si f es integrable sobre todo el eje real (es decir, f ∈ L 1 ( R ) ), entonces también lo es su transformada de Weierstrass F , y si además f ( x ) ≥ 0 para todo x , entonces también F ( x ) ≥ 0 para todas xy las integrales de f y F son iguales. Esto expresa el hecho físico de que la energía térmica total o el calor se conserva mediante la ecuación de calor, o que la cantidad total de material en difusión se conserva mediante la ecuación de difusión.
Usando lo anterior, se puede demostrar que para 0 < p ≤ ∞ y f ∈ L p ( R ) , tenemos F ∈ L p ( R ) y || F || p ≤ || f || p . En consecuencia, la transformada de Weierstrass produce un operador acotado W: L p ( R ) → L p ( R ).
Si f es suficientemente suave, entonces la transformada de Weierstrass de la k -ésima derivada de f es igual a la k -ésima derivada de la transformada de Weierstrass de f .
Hay una fórmula que relaciona la transformada de Weierstrass W y el de dos caras transformada de Laplace L . Si definimos
luego
Filtro de paso bajo
Hemos visto anteriormente que la transformada de Weierstrass de cos ( bx ) es e - b 2 cos ( bx ), y análogamente para sin ( bx ). En términos de análisis de señal , esto sugiere que si la señal f contiene la frecuencia b (es decir, contiene un sumando que es una combinación de sen ( bx ) y cos ( bx )), entonces la señal transformada F contendrá la misma frecuencia, pero con una amplitud multiplicada por el factor e - b 2 . Esto tiene la consecuencia de que las frecuencias más altas se reducen más que las más bajas, y la transformada de Weierstrass actúa así como un filtro de paso bajo . Esto también se puede mostrar con la transformada de Fourier continua , como sigue. La transformada de Fourier analiza una señal en términos de sus frecuencias, transforma las convoluciones en productos y transforma a los gaussianos en gaussianos. La transformada de Weierstrass es una convolución con un gaussiano y, por lo tanto, es una multiplicación de la señal transformada de Fourier con un gaussiano, seguida de la aplicación de la transformada de Fourier inversa. Esta multiplicación con un espacio de frecuencia gaussiano mezcla las frecuencias altas, que es otra forma de describir la propiedad de "suavizado" de la transformada de Weierstrass.
La transformación inversa
La siguiente fórmula, estrechamente relacionada con la transformada de Laplace de una función gaussiana, y un análogo real de la transformación de Hubbard-Stratonovich , es relativamente fácil de establecer:
Ahora reemplace u con el operador de diferenciación formal D = d / dx y utilice el operador de turno de Lagrange
- ,
(una consecuencia de la fórmula de la serie de Taylor y la definición de la función exponencial ), para obtener
para así obtener la siguiente expresión formal para la transformada de Weierstrass W ,
donde se debe entender que el operador de la derecha actúa sobre la función f ( x ) como
La derivación formal anterior pasa por alto los detalles de la convergencia y, por lo tanto, la fórmula W = e D 2 no es universalmente válida; hay varias funciones f que tienen una transformada de Weierstrass bien definida, pero para las cuales e D 2 f ( x ) no se puede definir de manera significativa.
Sin embargo, la regla sigue siendo bastante útil y, por ejemplo, puede usarse para derivar las transformadas de Weierstrass de polinomios, funciones exponenciales y trigonométricas mencionadas anteriormente.
La inversa formal de la transformada de Weierstrass viene dada por
Una vez más, esta fórmula no es universalmente válida pero puede servir como guía. Se puede demostrar que es correcto para ciertas clases de funciones si el operador del lado derecho está correctamente definido. [2]
Alternativamente, se puede intentar invertir la transformada de Weierstrass de una manera ligeramente diferente: dada la función analítica
aplicar W −1 para obtener
una vez más utilizando una propiedad fundamental de los polinomios de Hermite (físicos) H n .
Nuevamente, esta fórmula para f ( x ) es, en el mejor de los casos, formal, ya que no se verificó si la serie final converge. Pero si, por ejemplo, f ∈ L 2 ( R ), entonces el conocimiento de todas las derivadas de F en x = 0 es suficiente para producir los coeficientes a n ; y así reconstruir f como una serie de polinomios de Hermite .
Un tercer método para invertir la transformada de Weierstrass aprovecha su conexión con la transformada de Laplace mencionada anteriormente y la conocida fórmula de inversión para la transformada de Laplace. El resultado se indica a continuación para las distribuciones.
Generalizaciones
Podemos usar la convolución con el kernel gaussiano (con algo de t > 0) en lugar de, definiendo así un operador W t , la transformada de Weierstrass generalizada.
Para valores pequeños de t , W t [ f ] es muy cercano af , pero suave. Cuanto mayor sea t , más promediará este operador y cambiará f . Físicamente, W t corresponde a seguir la ecuación de calor (o difusión) para t unidades de tiempo, y esto es aditivo,
correspondiente a "difundir para t unidades de tiempo, luego s unidades de tiempo, es equivalente a difundir para s + t unidades de tiempo". Se puede extender esto a t = 0 estableciendo W 0 para que sea el operador de identidad (es decir, convolución con la función delta de Dirac ), y estos luego forman un semigrupo de operadores de un parámetro .
El kernel que se utiliza para la transformada de Weierstrass generalizada a veces se denomina núcleo de Gauss-Weierstrass , y es la función de Green para la ecuación de difusión en R .
W t se puede calcular a partir de W : dada una función f ( x ) , defina una nueva función f t ( x ) = f ( x √ t ) ; entonces W t [ f ] ( x ) = W [ f t ] ( x / √ t ) , una consecuencia de la regla de sustitución .
La transformada de Weierstrass también se puede definir para ciertas clases de distribuciones o "funciones generalizadas". [3] Por ejemplo, la transformada de Weierstrass del delta de Dirac es la gaussiana.
En este contexto, se pueden probar fórmulas de inversión rigurosas, por ejemplo,
donde x 0 es cualquier número real fijo para el que existe F ( x 0 ) , la integral se extiende sobre la línea vertical en el plano complejo con la parte real x 0 , y el límite debe tomarse en el sentido de distribuciones.
Además, la transformada de Weierstrass se puede definir para funciones (o distribuciones) de valor real (o complejo) definidas en R n . Usamos la misma fórmula de convolución anterior, pero interpretamos que la integral se extiende sobre todo R n y la expresión ( x - y ) 2 como el cuadrado de la longitud euclidiana del vector x - y ; el factor delante de la integral debe ajustarse para que el gaussiano tenga una integral total de 1.
De manera más general, la transformada de Weierstrass se puede definir en cualquier variedad de Riemann : la ecuación de calor se puede formular allí (utilizando el operador de Laplace-Beltrami de la variedad ), y la transformada de Weierstrass W [ f ] se obtiene siguiendo la solución de la ecuación de calor por una unidad de tiempo, comenzando con la "distribución de temperatura" inicial f .
Transformaciones relacionadas
Si se considera la convolución con el núcleo 1 / (π (1 + x 2 )) en lugar de con un gaussiano, se obtiene la transformada de Poisson que suaviza y promedia una función dada de una manera similar a la transformada de Weierstrass.
Ver también
- desenfoque gaussiano
- Filtro gaussiano
- Representación Husimi Q
- Ecuación de calor # Soluciones fundamentales
Referencias
- ^ Ahmed I. Zayed, Manual de funciones y transformaciones de funciones generalizadas , Capítulo 18. CRC Press, 1996.
- ^ GG Bilodeau, " La transformación de Weierstrass y los polinomios de Hermite ". Duke Mathematical Journal 29 (1962), pág. 293-308
- ^ Yu A. Brychkov, AP Prudnikov. Transformaciones integrales de funciones generalizadas , Capítulo 5. CRC Press, 1989