La El modelo (también conocido como modelo de reloj ) es un modelo estadístico simplificado de espín mecánico . Es una generalización del modelo Ising . Aunque se puede definir en un gráfico arbitrario , es integrable solo en retículas unidimensionales y bidimensionales , en varios casos especiales.
Definición
La El modelo se define asignando un valor de giro en cada nodo. en un gráfico, con los giros tomando valores , dónde . Por tanto, los giros toman valores en forma de raíces complejas de unidad . En términos generales, podemos pensar en los giros asignados a cada nodo del modelo como apuntando en cualquiera de direcciones equidistantes. Los pesos de Boltzmann para una ventaja general están:
dónde denota conjugación compleja y el están relacionados con la fuerza de interacción a lo largo del borde . Tenga en cuenta que y a menudo se establece en 1. Las ponderaciones de Boltzmann (de valor real) son invariantes bajo las transformaciones y , análogo a la rotación y la reflexión universales respectivamente.
Solución crítica auto-dual
Hay una clase de soluciones para modelo definido en una celosía cuadrada anisotrópica en general. Si el modelo es auto-dual en el sentido de Kramers-Wannier y, por lo tanto , crítico , y el enrejado es tal que hay dos posibles 'pesos' y para las dos posibles orientaciones de los bordes, podemos introducir la siguiente parametrización en :
- -
Al requerir la relación de dualidad y la relación estrella-triángulo , que asegura la integrabilidad , para sostener, es posible encontrar la solución:
con . Este caso particular delEl modelo a menudo se denomina modelo FZ por derecho propio, en honor a VA Fateev y AB Zamolodchikov, quienes calcularon por primera vez esta solución. El modelo FZ se acerca al modelo XY en el límite como. También es un caso especial del modelo quiral de Potts y del modelo Kashiwara-Miwa .
Casos especiales solucionables
Como es el caso de la mayoría de los modelos de celosía en mecánica estadística , no se conocen soluciones exactas para lamodelo en tres dimensiones. Sin embargo, en dos dimensiones, se puede resolver exactamente en un retículo cuadrado para ciertos valores de y / o los 'pesos' . Quizás el ejemplo más conocido es el modelo de Ising , que admite giros en dos direcciones opuestas (es decir,). Este es precisamente el modelo para , y por lo tanto el El modelo se puede considerar como una generalización del modelo de Ising . Otros modelos exactamente resolubles correspondientes a casos particulares de lamodelo incluyen el modelo Potts de tres estados , con y , dónde es un cierto valor crítico (FZ), y el modelo crítico Askin-Teller donde .
Versión cuántica
Una versión cuántica delEl modelo de reloj se puede construir de manera análoga al modelo de Ising de campo transversal . El hamiltoniano de este modelo es el siguiente:
Aquí, los subíndices se refieren a sitios de celosía y la suma se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos y . Las matrices de reloj y son generalizaciones de las matrices de Pauli que satisfacen
y
dónde es 1 si y son el mismo sitio y cero en caso contrario. es un prefactor con dimensiones de energía, y es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano.
Referencias
- VA Fateev y AB Zamolodchikov (1982); "Soluciones auto-duales de las relaciones estrella-triángulo en-modelos ", Physics Letters A , 92, págs. 37–39
- MA Rajabpour y J. Cardy (2007); "Parafermiones discretamente holomórficos en celosíamodelos " J. Phys. A 22 40, 14703–14714