El modelo quiral de Potts es un modelo de espín en una red plana en mecánica estadística . Al igual que con el modelo de Potts , cada giro puede tomar valores n = 0, ... N-1. A cada par de vecino más cercano de los espines n y n ', se le asigna un peso de Boltzmann W (n-n') ( factor de Boltzmann ). El modelo es quiral , lo que significa W (n-n ') ≠ W (n'-n). Cuando sus pesos satisfacen la ecuación de Yang-Baxter (relación estrella-triángulo), es integrable. Para el modelo de Potts quiral integrable, sus pesos están parametrizados por una curva de género alto , la curva de Potts quiral . [1] [2] A diferencia de otros modelos con solución, [3] [4]cuyos pesos están parametrizados por curvas de género menor o igual a uno, de modo que puedan expresarse en términos de función trigonométrica o racional (género = 0) o por funciones theta (género = 1), este modelo involucra funciones theta de género alto , que aún no están bien desarrollados. Por lo tanto, se pensó que no se podía avanzar en un problema tan difícil. Sin embargo, se han logrado muchos avances desde la década de 1990. Debe recalcarse nuevamente que el modelo quiral de Potts no se inventó porque era integrable sino que se encontró el caso integrable, luego de que se introdujera para explicar los datos experimentales. De una manera muy profunda, la física está aquí muy por delante de las matemáticas. La historia y su desarrollo se presentarán aquí brevemente.
Tenga en cuenta que el modelo de reloj quiral , que fue introducido en la década de 1980, de forma independiente, por David Huse y Stellan Ostlund, no se puede resolver exactamente, en contraste con el modelo quiral de Potts.
El modelo
Este modelo está fuera de la clase de todos los modelos previamente conocidos y plantea una serie de preguntas sin resolver que están relacionadas con algunos de los problemas más difíciles de resolver de la geometría algebraica que nos han acompañado durante 150 años. Los modelos quirales de Potts se utilizan para comprender las transiciones de fase proporcionales e inconmensurables. [5] Para N = 3 y 4, el caso integrable se descubrió en 1986 en Stonybrook y se publicó al año siguiente. [1] [6]
Caso auto-dual
El modelo se llama auto-dual , si la transformada de Fourier del peso es igual al peso. En 1982 Fateev y Zamolodchikov resolvieron un caso especial (género 1). [7] Al eliminar ciertas restricciones del trabajo de Alcaraz y Santos, [8] se descubrió un caso auto-dual más general del modelo quiral integrable de Potts. [1] El peso se da en forma de producto [9] [10] y los parámetros en el peso se muestran en la curva de Fermat , con género mayor que 1.
Caso general
En Canberra, se encontró la solución general para todo k (la variable de temperatura). [2] Los pesos también se dieron en forma de producto y Fortran comprobó que satisfacen la relación estrella-triángulo. La prueba se publicó más tarde. [11]
Resultados
Parámetro de orden
De la serie [5] [12] se conjetura que el parámetro de orden [13] tiene la forma simple
Se necesitaron muchos años para probar esta conjetura, ya que no se podía utilizar la técnica habitual de matriz de transferencia de esquina debido a la curva de género más alta. Esta conjetura fue finalmente probada por Baxter en 2005 [14] [15] utilizando ecuaciones funcionales y la técnica de "línea de rapidez rota" de Jimbo et al. [16] asumiendo dos condiciones de analiticidad bastante suaves del tipo comúnmente utilizado en el campo de los modelos integrables de Yang-Baxter. Más recientemente, en una serie de artículos [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] se ha dado una forma algebraica ( similar a Ising ) de obtener el parámetro de orden, dando más información sobre el estructura algebraica.
Conexión a modelo de 6 vértices
En 1990 Bazhanov y Stroganov [24] muestran que existen 2 × N L- operadores, que satisfacen la ecuación de Yang-Baxter
donde 2 × 2 R -operator es el 6-vértice R -matrix (ver modelo Vertex ). Se demostró que el producto de cuatro pesos quirales de Pott S entrelaza dos operadores L como
Esto inspiró un avance muy importante, a saber, se descubren las relaciones funcionales para las matrices de transferencia de los modelos quirales de Potts. [25]
Energía libre y tensión interfacial
Usando esta relación funcional, Baxter pudo calcular los autovalores de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts, [26] y obtuvo el exponente crítico para el calor específico α = 1-2 / N, que también fue conjeturado en la referencia 12. las tensiones interfaciales también se calculan por él con el exponente μ = 1/2 + 1 / N. [27] [28]
Relación con las matemáticas
Teoría del nudo
Los pesos de Potts quirales integrables se dan en forma de producto [2] como
donde ω N = 1 y asociamos con cada una de las variables de rapidez p con tres variables (x p , y p , μ p ) que satisfacen
Es fácil ver eso
que es similar al movimiento I de Reidemeister. También se sabía que los pesos que satisfacen la relación de inversión,
Esto es equivalente al movimiento II de Reidemeister. La relación estrella-triángulo
es equivalente al movimiento III de Reidemeister. Estos se muestran en la figura que se muestra aquí. [29]
Ver también
- Modelo ZN
Referencias
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- ^ BM McCoy, "Mecánica estadística avanzada", 146 Serie internacional de monografías sobre física, Oxford, Inglaterra, ISBN 9780199556632
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- ↑ Au-Yang Helen, Perk HH Jacques (2016), arXiv: 1601.01014