En la teoría de conjuntos , Θ (pronunciado como la letra theta ) es el ordinal α menos cero, de modo que no hay sobreyección de los reales sobre α.
Si el axioma de elección (AC) se cumple (o incluso si los reales pueden estar bien ordenados ), entonces Θ es simplemente, el sucesor cardinal de la cardinalidad del continuo . Sin embargo, Θ se estudia a menudo en contextos en los que falla el axioma de elección, como los modelos del axioma de determinación .
Θ es también el supremo de las longitudes de todos los prepoderes de los reales. [ cita requerida ]
Prueba de existencia
Puede que no sea obvio que se pueda probar, sin usar AC, que incluso existe un ordinal distinto de cero sobre el cual no hay sobreyección de los reales (si existe tal ordinal, entonces debe haber al menos uno porque los ordinales son bien ordenado). Sin embargo, suponga que no existiera tal ordinal. Entonces, a cada α ordinal podríamos asociar el conjunto de todos los prebordimientos de los reales que tienen una longitud α. Esto daría una inyección de la clase de todos los ordinales en el conjunto de todos los conjuntos de ordenamientos en los reales (que puede verse como un conjunto mediante la aplicación repetida del axioma powerset ). Ahora bien, el axioma de reemplazo muestra que la clase de todos los ordinales es de hecho un conjunto. Pero eso es imposible, según la paradoja de Burali-Forti . [ cita requerida ]