En matemáticas , el axioma de conjunto de potencias es uno de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos axiomáticos .
En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:
donde y es el conjunto de potencias de x ,.
En inglés, esto dice:
- Dado cualquier conjunto x , hay un conjunto tal que , dado cualquier conjunto z , este conjunto z es miembro de si y solo si cada elemento de z es también un elemento de x .
Más sucintamente: para cada set, hay un conjunto que consiste precisamente en los subconjuntos de .
Tenga en cuenta la relación de subconjuntono se usa en la definición formal ya que subconjunto no es una relación primitiva en la teoría formal de conjuntos; más bien, el subconjunto se define en términos de pertenencia al conjunto ,. Según el axioma de extensionalidad , el conjunto es único.
El axioma de conjunto de poder aparece en la mayoría de las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. En general, se considera indiscutible, aunque la teoría de conjuntos constructiva prefiere una versión más débil para resolver las preocupaciones sobre la predicatividad .
Consecuencias
El Power Set Axiom permite una definición simple del producto cartesiano de dos conjuntos y :
Darse cuenta de
y, por ejemplo, considerando un modelo que usa el par ordenado de Kuratowski ,
y, por tanto, el producto cartesiano es un conjunto ya que
Se puede definir el producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos de forma recursiva:
Nótese que la existencia del producto cartesiano puede probarse sin utilizar el axioma conjunto potencia, como en el caso de la teoría de conjuntos Kripke-Platek .
Referencias
- Paul Halmos , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
- Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .
- Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
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