Producto vacio
En matemáticas , un vacío producto , o producto nullary o producto vacuo , es el resultado de la multiplicación no hay factores. Es por convención igual a la identidad multiplicativa (asumiendo que hay una identidad para la operación de multiplicación en cuestión), así como la suma vacía —el resultado de no agregar números— es por convención cero , o la identidad aditiva. [1] [2] [3] [4]
El término producto vacío se usa con mayor frecuencia en el sentido anterior cuando se habla de operaciones aritméticas . Sin embargo, el término se emplea a veces cuando se discuten las intersecciones de la teoría de conjuntos , los productos categóricos y los productos en la programación de computadoras; estos se analizan a continuación.
Si el límite superior de la suma es menor que el límite inferior de la suma del índice de la suma , entonces el índice debe "ir hacia atrás", es decir, pasa por encima de cero entradas, por lo que se define como .
Permitir un "producto" con factores cero reduce el número de casos a considerar en muchas fórmulas matemáticas. Este "producto" es un punto de partida natural en las pruebas de inducción , así como en los algoritmos. Por estas razones, la convención "el producto vacío es uno" es una práctica común en matemáticas y programación de computadoras.
La noción de un producto vacío es útil por la misma razón que el número cero y el conjunto vacío son útiles: si bien parecen representar nociones poco interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más breve de muchos temas.
Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 (el factorial de cero) y x 0 = 1 acortan la notación de la serie de Taylor (ver cero elevado a la potencia de cero para una discusión cuando x = 0). Asimismo, si M es una matriz n × n , entonces M 0 es la matriz identidad n × n , lo que refleja el hecho de que aplicar un mapa lineal cero veces tiene el mismo efecto que aplicar el mapa identidad .