Cero elevado a cero , denotado por 0 0 , es una expresión matemática sin valor acordado . Las posibilidades más comunes son 1 o dejar la expresión sin definir, existiendo justificaciones para cada una, según el contexto. En álgebra y combinatoria , el valor generalmente acordado es 0 0 = 1 , mientras que en el análisis matemático , la expresión a veces se deja sin definir. Los lenguajes de programación de computadoras y el software también tienen diferentes formas de manejar esta expresión.
Exponentes discretos
Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que involucran exponentes de números naturales requieren que 0 0 se defina como 1 . Por ejemplo, las siguientes tres interpretaciones de b 0 tienen tanto sentido para b = 0 como para los enteros positivos b :
- La interpretación de b 0 como un producto vacío le asigna el valor 1 .
- La interpretación combinatoria de b 0 es el número de tuplas 0 de elementos de un conjunto de elementos b ; hay exactamente una tupla 0.
- La interpretación de la teoría de conjuntos de b 0 es el número de funciones desde el conjunto vacío hasta un conjunto de elementos b ; existe exactamente una de esas funciones, a saber, la función vacía . [1]
Los tres se especializan para dar 0 0 = 1 .
Polinomios y series de potencias
- Cuando se trabaja con polinomios , para que todos los mapas de evaluación sean homomorfismos de anillo , es necesario definir 0 0 = 1 , como se explicará a continuación. Un polinomio es una expresión de la forma a 0 x 0 + ⋅⋅⋅ + a n x n , donde x es un indeterminado y los coeficientes a n son números reales. El conjunto de todos estos polinomios con la adición y la multiplicación habituales es el anillo polinomial R [ x ] . La identidad multiplicativa de R [ x ] es x 0 , porque x 0 multiplicado por cualquier polinomio p ( x ) es solo p ( x ) . [2] Para cada número real fijo r , el mapa de evaluación R [ x ] → R envía cada polinomio a 0 x 0 + ⋅⋅⋅ + a n x n a su valor a 0 r 0 + ⋅⋅⋅ + a n r n en r debería ser un homomorfismo de anillo, pero mapea la identidad multiplicativa x 0 a r 0 , por lo que r 0 debe ser 1 . El caso especial r = 0 da 0 0 = 1 . El mismo argumento se aplica con R reemplazado por cualquier anillo . [3]
- Definir 0 0 = 1 es necesario para muchas identidades polinomiales. Por ejemplo, el teorema del binomio (1 + x ) n = ∑n
k = 0 (n
k) x k es válido para x = 0 solo si 0 0 = 1 . [4]
- De manera similar, los anillos de series de potencias requieren que x 0 se defina como 1 para todas las especializaciones de x . Por ejemplo, identidades como1/1− x = ∑∞
n = 0 x n y e x = ∑∞
n = 0x n/n !mantener para x = 0 solo si 0 0 = 1 . [5]
- En cálculo , la regla del poder D/dxx n = nx n −1 es válido para n = 1 en x = 0 solo si 0 0 = 1 .
Exponentes continuos
Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo se pueden evaluar reemplazando subexpresiones por sus límites; si la expresión resultante no determina el límite original, la expresión se conoce como forma indeterminada . [6] La expresión 0 0 es una forma indeterminada: Dadas las funciones de valor real f ( t ) y g ( t ) que se acercan a 0 (cuando t se acerca a un número real o ± ∞ , de un lado o de ambos lados) con f ( t )> 0 (en cada lado relevante), el límite de f ( t ) g ( t ) puede ser cualquier número real no negativo o + ∞ , o puede divergir , dependiendo de f y g . Por ejemplo, cada límite a continuación involucra una función f ( t ) g ( t ) con f ( t ), g ( t ) → 0 cuando t → 0 + (un límite unilateral ), pero sus valores son diferentes:
Por lo tanto, la función de dos variables x y , aunque es continua en el conjunto {( x , y ): x > 0} , no puede extenderse a una función continua en {( x , y ): x > 0} ∪ {(0 , 0)} , no importa cómo se elija definir 0 0 . [7]
Por otro lado, si f y g son funciones analíticas en una vecindad abierta de un número c , entonces f ( t ) g ( t ) → 1 cuando t se aproxima a c desde cualquier lado en el que f sea positivo. [8]
Exponentes complejos
En el dominio complejo , la función z w puede definirse para z distinto de cero eligiendo una rama de log z y definiendo z w como e w log z . Esto no define 0 w ya que no hay ninguna rama de log z definida en z = 0 , y mucho menos en una vecindad de 0 . [9] [10] [11]
Historia
Como valor
En 1752, Euler en Introductio in analysin infinitorum escribió que a 0 = 1 [12] y mencionó explícitamente que 0 0 = 1 . [13] Una anotación atribuida [14] a Mascheroni en una edición de 1787 del libro de Euler Institutiones calculi differentialis [15] ofreció la "justificación"
así como otra justificación más complicada. En la década de 1830, Libri [16] [14] publicó varios argumentos adicionales que intentaban justificar la afirmación 0 0 = 1 , aunque estaban lejos de ser convincentes, incluso para los estándares de rigor de la época. [17]
Como forma limitante
Euler, al establecer 0 0 = 1 , se ha mencionado que, en consecuencia los valores de la función 0 x toman un "gran salto", desde ∞ para x <0 , a 1 en x = 0 , a 0 para x > 0 . [12] En 1814, Pfaff usó un argumento del teorema de compresión para demostrar que x x → 1 cuando x → 0 + . [8]
Por otro lado, en 1821 Cauchy [18] explica por qué el límite de x y como números positivos x y y enfoque 0 mientras que siendo limitado por alguna relación fija podría hacerse asumir cualquier valor entre 0 y ∞ por la elección de la relación apropiada. Se deduce que el límite de la totalidad de dos variables función de x y sin restricción especificada es "indeterminada". Con esta justificación, enumeró 0 0 junto con expresiones como0/0en una tabla de formas indeterminadas .
Aparentemente inconsciente del trabajo de Cauchy, Möbius [8] en 1834, basándose en el argumento de Pfaff, afirmó incorrectamente que f ( x ) g ( x ) → 1 siempre que f ( x ), g ( x ) → 0 cuando x se acerca a un número c ( presumiblemente se asume que f es positivo fuera de c ). Möbius se redujo al caso c = 0 , pero luego cometió el error de asumir que cada uno de f y g podrían expresarse en la forma Px n para alguna función continua P que no desaparece en 0 y algún entero no negativo n , lo cual es cierto para analítica funciones, pero no en general. Un comentarista anónimo señaló el paso injustificado; [19] luego otro comentarista que firmó su nombre simplemente como "S" proporcionó los contraejemplos explícitos ( e −1 / x ) x → e −1 y ( e −1 / x ) 2 x → e −2 como x → 0 + y expresó la situación escribiendo que " 0 0 puede tener muchos valores diferentes". [19]
Situación actual
- Algunos autores definen 0 0 como 1 porque simplifica muchos enunciados de teoremas. Según Benson (1999), "La elección de definir 0 0 se basa en la conveniencia, no en la corrección. Si nos abstenemos de definir 0 0 , entonces ciertas afirmaciones se vuelven innecesariamente incómodas ... El consenso es utilizar la definición 0 0 = 1 , aunque hay libros de texto que se abstienen de definir 0 0 ". [20] Knuth (1992) sostiene con más firmeza que 0 0 " tiene que ser 1 "; hace una distinción entre el valor 0 0 , que debería ser igual a 1 , y la forma límite 0 0 (una abreviatura para un límite de f ( t ) g ( t ) donde f ( t ), g ( t ) → 0 ), que es una forma indeterminada: "Tanto Cauchy como Libri tenían razón, pero Libri y sus defensores no entendían por qué la verdad estaba de su lado". [17]
- Otros autores dejan 0 0 sin definir porque 0 0 es una forma indeterminada: f ( t ), g ( t ) → 0 no implican f ( t ) g ( t ) → 0 . [21] [22]
No parece haber ningún autor que asigne a 0 0 un valor específico distinto de 1. [20]
Tratamiento en computadoras
Estándar de coma flotante IEEE
El estándar de punto flotante IEEE 754-2008 se utiliza en el diseño de la mayoría de las bibliotecas de punto flotante. Recomienda una serie de operaciones para calcular una potencia: [23]
pow
(que se comporta de manera diferente dependiendo de si sus argumentos son enteros o no) trata 0 0 como 1 .pown
(una operación entera, definida para bases negativas) trata 0 0 como 1 .powr
(una operación de punto flotante) trata 0 0 comoNaN
(No es un número, no representable como un número de punto flotante).
La pow
variante está inspirada en la pow
función de C99 , principalmente por compatibilidad. [24] Es útil principalmente para lenguajes con una sola función de potencia. Las variantes pown
y powr
se han introducido debido al uso conflictivo de las funciones de potencia y los diferentes puntos de vista (como se indicó anteriormente). [25]
Lenguajes de programación
Los estándares C y C ++ no especifican el resultado de 0 0 (puede ocurrir un error de dominio). Pero para C, a partir de C99 , si se admite el anexo normativo F, el resultado para los tipos de coma flotante reales debe ser 1 porque hay aplicaciones importantes para las que este valor es más útil que NaN [26] (por ejemplo, con exponentes discretos ); el resultado en tipos complejos no se especifica, incluso si se admite el anexo informativo G. El estándar Java , [27] el método .NET Framework , [28] Julia y Python [29] [30] también tratan 0 0 como 1 . Algunos lenguajes documentan que su operación de exponenciación corresponde a la función de la biblioteca matemática de C ; este es el caso de Lua [31] y el operador de Perl [32] (donde se menciona explícitamente que el resultado de depende de la plataforma). System.Math.Pow
pow
**
0**0
Software matemático y científico
APL , [ cita requerida ] R , [33] Stata , SageMath , [34] Matlab , Magma , GAP , Singular , PARI / GP , [35] y GNU Octave evalúan x 0 a 1 . Mathematica [36] y Macsyma simplifican x 0 a 1 incluso si no se aplican restricciones a x ; sin embargo, si 0 0 se ingresa directamente, se trata como un error o indeterminado. SageMath no simplifica 0 x . Maple , Mathematica [36] y PARI / GP [35] [37] distinguen aún más entre valores enteros y de punto flotante: si el exponente es un cero de tipo entero, devuelven un 1 del tipo de la base; la exponenciación con un exponente de coma flotante de valor cero se trata como indefinido, indeterminado o error.
Referencias
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- ^ "Algunos libros de texto dejan la cantidad 0 0 sin definir, porque las funciones x 0 y 0 x tienen valores límite diferentes cuando x disminuye a 0. Pero esto es un error. Debemos definir x 0 = 1 , para todo x , si el binomio El teorema debe ser válido cuando x = 0 , y = 0 y / o x = - y . ¡El teorema del binomio es demasiado importante para ser restringido arbitrariamente! Por el contrario, la función 0 x carece de importancia ". Ronald Graham ; Donald Knuth ; Oren Patashnik (5 de enero de 1989). "Coeficientes binomiales". Matemáticas concretas (1ª ed.). Addison Wesley Longman Publishing Co. pág. 162. ISBN 0-201-14236-8.
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En general, el límite de φ ( x ) / ψ ( x ) cuando x = a en caso de que existan los límites de ambas funciones es igual al límite del numerador dividido por el denominador. Pero, ¿qué pasa cuando ambos límites son cero? Entonces, la división ( 0/0 ) deja de tener sentido. Un caso como este se conoce como forma indeterminada. Otras formas similares son ∞ / ∞ , 0 × ∞ , ∞ - ∞ , 0 0 , 1 ∞ y ∞ 0 .
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También existe el operador de exponenciación ^, cuando el exponente es de tipo entero; de lo contrario, se considera una función trascendental. ... Si el exponente n es un número entero, las operaciones exactas se realizan utilizando técnicas de potenciación binaria (desplazamiento a la izquierda). ... Si el exponente n no es un número entero, la potenciación se trata como la función trascendental exp ( n log x ) .
enlaces externos
- Preguntas frecuentes de sci.math: ¿Qué es 0 0 ?
- ¿A qué equivale 0 0 (cero elevado a cero)? en AskAMathematician.com