En matemáticas , 0.999 ... (también escrito como 0. 9 , en notación decimal repetida ) denota el decimal periódico que consiste en una secuencia interminable de 9 después del punto decimal . Este decimal periódico representa el número más pequeño, no menos que cada número decimal en la secuencia (0.9, 0.99, 0.999, ...). [1] Este número es igual a 1. En otras palabras, "0,999 ..." y "1" representan el mismo número. Hay muchas formas de mostrar esta igualdad, desde argumentos intuitivos hasta pruebas matemáticamente rigurosas. . La técnica utilizada depende de la audiencia objetivo, las suposiciones de fondo, el contexto histórico y el desarrollo preferido de los números reales , el sistema dentro del cual 0.999 ... se define comúnmente. (En otros sistemas, 0.999 ... puede tener el mismo significado, una definición diferente o no estar definido).
De manera más general, cada decimal terminal distinto de cero tiene dos representaciones iguales (por ejemplo, 8.32 y 8.31999 ...), que es una propiedad de todas las representaciones del sistema numérico posicional independientemente de la base . La preferencia utilitaria por la representación decimal terminal contribuye a la idea errónea de que es la única representación. Por esta y otras razones, como pruebas rigurosas que se basan en técnicas, propiedades o disciplinas no elementales, algunas personas pueden encontrar la igualdad lo suficientemente contradictoria como para cuestionarla o rechazarla. Este ha sido objeto de varios estudios en educación matemática .
Prueba elemental
Hay una prueba elemental de la ecuación 0.999 ... = 1 , que usa solo las herramientas matemáticas de comparación y suma de números decimales (finitos) , sin ninguna referencia a temas más avanzados como series , límites , construcción formal de números reales , etc. La demostración, un ejercicio dado por Stillwell (1994 , p. 42), es una formalización directa del hecho intuitivo de que, si se dibuja 0.9, 0.99, 0.999, etc. en la recta numérica, no queda espacio para colocando un número entre ellos y 1. El significado de la notación 0.999 ... es el punto mínimo en la recta numérica que se encuentra a la derecha de todos los números 0.9, 0.99, 0.999, etc. Porque finalmente no hay espacio entre 1 y estos números, el punto 1 debe ser este punto mínimo, por lo que 0,999 ... = 1 .
Explicación intuitiva
Si se coloca 0.9, 0.99, 0.999, etc. en la recta numérica , se ve inmediatamente que todos estos puntos están a la izquierda de 1, y que se acercan cada vez más a 1.
Más precisamente, la distancia de 0,9 a 1 es 0,1 = 1/10 , la distancia de 0,99 a 1 es 0,01 = 1/10 2 , y así sucesivamente. La distancia a 1 desde el n- ésimo punto (el que tiene n 9s después del punto decimal) es 1/10 n .
Por lo tanto, si 1 no fuera el número más pequeño mayor que 0.9, 0.99, 0.999, etc., entonces habría un punto en la recta numérica que se encuentra entre 1 y todos estos puntos. Este punto estaría a una distancia positiva de 1 que es menor que 1/10 n para cada entero n . En los sistemas numéricos estándar (los números racionales y los números reales ), no hay ningún número positivo que sea menor que 1/10 n para todos los n . Esta es (una versión de) la propiedad de Arquímedes , que se puede demostrar que se cumple en el sistema de números racionales. Por lo tanto, 1 es el número más pequeño que es mayor que todos 0,9, 0,99, 0,999, etc., y así 1 = 0,999 ... .
Discusión sobre la completitud
Parte de lo que muestra este argumento es que hay un límite superior mínimo de la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, etc .: un número más pequeño que es mayor que todos los términos de la secuencia. Uno de los axiomas del sistema de números reales es el axioma de completitud , que establece que cada secuencia acotada tiene un límite superior mínimo. Este límite mínimo superior es una forma de definir expansiones decimales infinitas: el número real representado por un decimal infinito es el límite superior mínimo de sus truncamientos finitos. El argumento aquí no necesita suponer la completitud para ser válido, porque muestra que esta secuencia particular de números racionales de hecho tiene un límite superior mínimo, y que este límite superior mínimo es igual a uno.
Prueba formal
La explicación anterior no es una prueba, ya que no se puede definir adecuadamente la relación entre un número y su representación como un punto en la recta numérica. Para la exactitud de la prueba, el número 0,999 ... 9 , con n nueves después del punto decimal, se denota 0. (9) n . Entonces 0. (9) 1 = 0.9 , 0. (9) 2 = 0.99 , 0. (9) 3 = 0.999 , y así sucesivamente. Como 1/10 n = 0.0 ... 01 , con n dígitos después del punto decimal, la regla de suma para números decimales implica
y
para cada entero positivo n .
Hay que demostrar que 1 es el número más pequeño que no es menor que todo 0. (9) n . Para ello, basta con demostrar que, si un número x no es mayor que 1 ni menor que todo 0. (9) n , entonces x = 1 . Así que deja x tal que
para cada entero positivo n . Por lo tanto,
Esto implica que la diferencia entre 1 y x es menor que el inverso de cualquier número entero positivo. Por tanto, esta diferencia debe ser cero y, por tanto, x = 1 ; es decir
Esta prueba se basa en el hecho de que cero es el único número no negativo que es menor que todos los inversos de los enteros, o de manera equivalente, que no hay ningún número que sea mayor que todos los enteros. Esta es la propiedad de Arquímedes , que se verifica para números racionales y números reales . Los números reales pueden agrandarse en sistemas numéricos , como los números hiperreales , con números infinitamente pequeños ( infinitesimales ) y números infinitamente grandes ( números infinitos ). Cuando se usan estos sistemas, la notación 0.999 ... generalmente no se usa, ya que no hay un número más pequeño que no sea menor que todo 0. (9) n . (Esto está implícito en el hecho de que 0. (9) n ≤ x <1 implica 0. (9) n –1 ≤ 2 x - 1 < x <1 ).
Argumentos algebraicos
La cuestión de las ilustraciones demasiado simplificadas de la igualdad es un tema de discusión y crítica pedagógica. Byers (2007 , p. 39) discute el argumento de que, en la escuela primaria, a uno se le enseña que 1 ⁄ 3 = 0.333 ... , entonces, ignorando todas las sutilezas esenciales, "multiplicar" esta identidad por 3 da 1 = 0.999 .. . . Además, dice que este argumento no es convincente, debido a una ambigüedad no resuelta sobre el significado del signo igual ; un estudiante podría pensar: "Seguramente no significa que el número 1 sea idéntico al que significa la notación 0.999 ... ". La mayoría de los estudiantes universitarios de matemáticas con los que se encontró Byers sienten que, si bien 0.999 ... está "muy cerca" de 1 según la fuerza de este argumento, y algunos incluso dicen que está "infinitamente cerca", no están listos para decir que es igual a 1. Richman (1999) analiza cómo "este argumento obtiene su fuerza del hecho de que la mayoría de las personas han sido adoctrinadas para aceptar la primera ecuación sin pensar", pero también sugiere que el argumento puede llevar a los escépticos a cuestionar esta suposición.
Byers también presenta el siguiente argumento. Dejar
Los estudiantes que no aceptaron el primer argumento a veces aceptan el segundo, pero, en opinión de Byers, todavía no han resuelto la ambigüedad y, por lo tanto, no comprenden la representación de decimales infinitos. Peressini y Peressini (2007) , presentando el mismo argumento, también afirman que no explica la igualdad, indicando que tal explicación probablemente involucraría conceptos de infinito y completitud . Baldwin y Norton (2012) , citando a Katz y Katz (2010a) , también concluyen que el tratamiento de la identidad basado en argumentos como estos, sin el concepto formal de límite, es prematuro.
Richman (1999) también da el mismo argumento , quien señala que los escépticos pueden cuestionar si x es cancelable , es decir, si tiene sentido restar x de ambos lados.
Pruebas analíticas
Dado que la pregunta de 0.999 ... no afecta el desarrollo formal de las matemáticas, se puede posponer hasta que se demuestren los teoremas estándar del análisis real . Un requisito es caracterizar los números reales que se pueden escribir en notación decimal, que consiste en un signo opcional, una secuencia finita de uno o más dígitos formando una parte entera, un separador decimal y una secuencia de dígitos formando una parte fraccionaria. Con el fin de discutir 0.999 ..., la parte entera se puede resumir como b 0 y se pueden ignorar los negativos, por lo que una expansión decimal tiene la forma
La parte fraccionaria, a diferencia de la parte entera, no se limita a un número finito de dígitos. Esta es una notación posicional , por lo que, por ejemplo, el dígito 5 en 500 contribuye diez veces más que el 5 en 50, y el 5 en 0.05 contribuye una décima parte del 5 en 0.5.
Series y secuencias infinitas
Quizás el desarrollo más común de las expansiones decimales es definirlas como sumas de series infinitas . En general:
Para 0.999 ... se puede aplicar el teorema de convergencia relativo a las series geométricas : [2]
Dado que 0.999 ... es una suma con a = 9 y una razón común r = 1 ⁄ 10 , el teorema resuelve brevemente la pregunta:
Esta prueba aparece ya en 1770 en Leonhard Euler 's Elementos de Álgebra . [3]
La suma de una serie geométrica es en sí misma un resultado incluso más antiguo que Euler. Una derivación típica del siglo XVIII usó una manipulación término por término similar a la prueba algebraica dada anteriormente, y tan tarde como 1811, el libro de texto de Bonnycastle Una introducción al álgebra usa tal argumento para series geométricas para justificar la misma maniobra en 0.999 .. . [4] una reacción del siglo 19 en contra de tales métodos de suma liberales dado lugar a la definición que sigue dominando hoy: la suma de una serie se define como el límite de la secuencia de sus sumas parciales. Una prueba correspondiente del teorema calcula explícitamente esa secuencia; se puede encontrar en cualquier introducción al cálculo o análisis basada en pruebas. [5]
Una secuencia ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) tiene un límite x si la distancia | x - x n | se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que n aumenta. La afirmación de que 0,999 ... = 1 puede interpretarse y probarse en sí misma como un límite: [6]
Las dos primeras igualdades se pueden interpretar como definiciones abreviadas de símbolos. Se pueden probar las restantes igualdades. El último paso, que 1 ⁄ 10 n → 0 cuando n → ∞, a menudo se justifica por la propiedad de Arquímedes de los números reales. Esta actitud basada en límites hacia 0.999 ... a menudo se expresa en términos más evocadores pero menos precisos. Por ejemplo, el libro de texto de 1846 The University Arithmetic explica, ".999 +, continuó hasta infinito = 1, porque cada anexión de un 9 acerca el valor a 1"; la Aritmética para Escuelas de 1895dice, "cuando se toma un gran número de nueves, la diferencia entre 1 y .99999 ... se vuelve inconcebiblemente pequeña". [7] Con frecuencia, los estudiantes interpretan incorrectamente estetipo de heurísticas en el sentido de que 0,999 ... en sí mismo es menor que 1.
Intervalos anidados y límites superiores mínimos
La definición de serie anterior es una forma sencilla de definir el número real nombrado por una expansión decimal. Un enfoque complementario se adapta al proceso opuesto: para un número real dado, defina las expansiones decimales para nombrarlo.
Si se sabe que un número real x se encuentra en el intervalo cerrado [0, 10] (es decir, es mayor o igual que 0 y menor o igual que 10), uno puede imaginar dividir ese intervalo en diez partes que solo se superponen en sus puntos finales: [0, 1], [1, 2], [2, 3], y así sucesivamente hasta [9, 10]. El número x debe pertenecer a uno de estos; si pertenece a [2, 3] entonces se registra el dígito "2" y se subdivide ese intervalo en [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Continuar con este proceso produce una secuencia infinita de intervalos anidados , etiquetados por una secuencia infinita de dígitos b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ..., y uno escribe
En este formalismo, las identidades 1 = 0.999 ... y 1 = 1.000 ... reflejan, respectivamente, el hecho de que 1 se encuentra tanto en [0, 1] como en [1, 2], por lo que se puede elegir cualquiera de los subintervalos al encontrar sus dígitos. Para asegurarse de que esta notación no abuse del signo "=", se necesita una forma de reconstruir un número real único para cada decimal. Esto se puede hacer con límites, pero otras construcciones continúan con el tema de ordenamiento. [8]
Una elección sencilla es el teorema de intervalos anidados , que garantiza que dada una secuencia de intervalos cerrados anidados cuyas longitudes se vuelven arbitrariamente pequeñas, los intervalos contienen exactamente un número real en su intersección . Entonces b 0 . b 1 b 2 b 3 ... se define como el número único contenido en todos los intervalos [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 . b 1 , b 0 . b 1 + 0.1], y así sucesivamente. 0.999 ... es entonces el número real único que se encuentra en todos los intervalos [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1] y [0.99 ... 9, 1] para cada cadena finita de 9 s. Dado que 1 es un elemento de cada uno de estos intervalos, 0.999 ... = 1. [9]
El teorema de intervalos anidados generalmente se basa en una característica más fundamental de los números reales: la existencia de límites superiores mínimos o suprema . Para explotar directamente estos objetos, se puede definir b 0 . b 1 b 2 b 3 ... para ser el mínimo límite superior del conjunto de aproximantes { b 0 , b 0 . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. [10] Entonces se puede demostrar que esta definición (o la definición de intervalos anidados) es consistente con el procedimiento de subdivisión, lo que implica 0.999 ... = 1 nuevamente. Tom Apostol concluye:
El hecho de que un número real pueda tener dos representaciones decimales diferentes es simplemente un reflejo del hecho de que dos conjuntos diferentes de números reales pueden tener el mismo supremo. [11]
Pruebas de la construcción de números reales.
Algunos enfoques definen explícitamente los números reales como ciertas estructuras construidas sobre los números racionales , utilizando la teoría de conjuntos axiomáticos . Los números naturales (0, 1, 2, 3, etc.) comienzan con 0 y continúan hacia arriba, de modo que cada número tenga un sucesor. Se pueden extender los números naturales con sus negativos para dar todos los enteros , y luego extenderlos a las proporciones, dando los números racionales . Estos sistemas numéricos van acompañados de la aritmética de suma, resta, multiplicación y división. Más sutilmente, incluyen el orden , de modo que un número se pueda comparar con otro y se determine que es menor, mayor o igual que otro número.
El paso de lo racional a lo real es una gran extensión. Hay al menos dos formas populares de lograr este paso, ambas publicadas en 1872: cortes de Dedekind y secuencias de Cauchy . Las pruebas de que 0.999 ... = 1 que utilizan directamente estas construcciones no se encuentran en los libros de texto sobre análisis real, donde la tendencia moderna de las últimas décadas ha sido utilizar un análisis axiomático. Incluso cuando se ofrece una construcción, generalmente se aplica para probar los axiomas de los números reales, que luego respaldan las demostraciones anteriores. Sin embargo, varios autores expresan la idea de que comenzar con una construcción es lógicamente más apropiado y las pruebas resultantes son más autónomas. [12]
Cortes de Dedekind
En el método de corte de Dedekind , cada número real x se define como el conjunto infinito de todos los números racionales menores que x . [13] En particular, el número real 1 es el conjunto de todos los números racionales que son menores que 1. [14] Cada expansión decimal positiva determina fácilmente un corte de Dedekind: el conjunto de números racionales que son menores que alguna etapa de la expansión . Así que el número real 0,999 ... es el conjunto de los números racionales r tal que r <0, o r <0,9, o r <0,99, o r es menor que algún otro número de la forma [15]
Cada elemento de 0.999 ... es menor que 1, por lo que es un elemento del número real 1. A la inversa, todos los elementos de 1 son números racionales que se pueden escribir como
con b > 0 y b > a . Esto implica
y por lo tanto
y desde
según la definición anterior, cada elemento de 1 es también un elemento de 0.999 ..., y, combinado con la prueba anterior de que cada elemento de 0.999 ... es también un elemento de 1, los conjuntos 0.999 ... y 1 contienen los mismos números racionales, y por lo tanto son el mismo conjunto, es decir, 0.999 ... = 1.
La definición de números reales como cortes de Dedekind fue publicada por primera vez por Richard Dedekind en 1872. [16] El enfoque anterior para asignar un número real a cada expansión decimal se debe a un artículo expositivo titulado "Is 0.999 ... = 1?" por Fred Richman en Mathematics Magazine , [17] que está dirigido a profesores de matemáticas universitarias, especialmente en el nivel junior / senior, y sus estudiantes. [18] Richman observa que tomar cortes de Dedekind en cualquier subconjunto denso de los números racionales produce los mismos resultados; en particular, usa fracciones decimales , para las cuales la demostración es más inmediata. También señala que típicamente las definiciones permiten que {x: x <1} sea un corte pero no {x: x ≤ 1} (o viceversa) "¿Por qué hacer eso? Precisamente para descartar la existencia de números distintos 0.9 * y 1. [...] Entonces vemos que en la definición tradicional de los números reales, la ecuación 0.9 * = 1 está incorporada al principio ". [19] Una nueva modificación del procedimiento conduce a una estructura diferente donde los dos no son iguales. Aunque es consistente, muchas de las reglas comunes de la aritmética decimal ya no se cumplen, por ejemplo, la fracción 1 ⁄ 3 no tiene representación; consulte " Sistemas de números alternativos " a continuación.
Secuencias de Cauchy
Otro enfoque es definir un número real como el límite de una secuencia de Cauchy de números racionales . Esta construcción de los números reales utiliza el ordenamiento de los racionales de forma menos directa. En primer lugar, la distancia entre x y y se define como el valor absoluto | x - y |, donde el valor absoluto | z | se define como el máximo de zy - z , por lo que nunca es negativo. Entonces, los reales se definen como las secuencias de racionales que tienen la propiedad de secuencia de Cauchy usando esta distancia. Es decir, en la secuencia ( x 0 , x 1 , x 2 , ...), un mapeo de números naturales a racionales, para cualquier racional positivo δ hay una N tal que | x m - x n | ≤ delta para todos m , n > N . (La distancia entre términos se vuelve más pequeña que cualquier racional positivo). [20]
Si ( x n ) e ( y n ) son dos secuencias de Cauchy, entonces se definen como iguales como números reales si la secuencia ( x n - y n ) tiene el límite 0. Truncamientos del número decimal b 0 . b 1 b 2 b 3 ... genera una secuencia de racionales que es Cauchy; esto se toma para definir el valor real del número. [21] Así, en este formalismo, la tarea es mostrar que la secuencia de números racionales
tiene el límite 0. Considerando el n- ésimo término de la secuencia, para n ∈ ℕ , por lo tanto, debe demostrarse que
Este límite es evidente [22] si se comprende la definición de límite . Así que de nuevo 0,999 ... = 1.
La definición de números reales como secuencias de Cauchy fue publicada por primera vez por separado por Eduard Heine y Georg Cantor , también en 1872. [16] El enfoque anterior para las expansiones decimales, incluida la prueba de que 0,999 ... = 1, sigue de cerca a Griffiths & Hilton 1970 trabajo Un libro de texto completo de matemáticas clásicas: una interpretación contemporánea . El libro está escrito específicamente para ofrecer una segunda mirada a conceptos familiares desde una perspectiva contemporánea. [23]
Representación decimal infinita
Comúnmente en la educación matemática de las escuelas secundarias , los números reales se construyen definiendo un número usando un número entero seguido de un punto de base y una secuencia infinita escrita como una cadena para representar la parte fraccionaria de cualquier número real dado. En esta construcción, el conjunto de cualquier combinación de un número entero y dígitos después del punto decimal (o punto de base en sistemas que no son de base 10) es el conjunto de números reales. Se puede demostrar rigurosamente que esta construcción satisface todos los axiomas reales después de definir una relación de equivalencia sobre el conjunto que define 1 = eq 0.999 ... así como para cualquier otro decimal distinto de cero con solo un número finito de términos distintos de cero en la cadena decimal con su versión final de 9s. [24] Con esta construcción de los reales, todas las demostraciones del enunciado "1 = 0,999 ..." pueden verse como asumiendo implícitamente la igualdad cuando se realizan operaciones sobre los números reales.
Generalizaciones
El resultado de que 0,999 ... = 1 se generaliza fácilmente de dos formas. Primero, todo número distinto de cero con una notación decimal finita (de forma equivalente, ceros finales sin fin) tiene una contraparte con nueve finales. Por ejemplo, 0.24999 ... es igual a 0.25, exactamente como en el caso especial considerado. Estos números son exactamente las fracciones decimales y son densos . [25]
En segundo lugar, se aplica un teorema comparable en cada raíz o base . Por ejemplo, en la base 2 (el sistema numérico binario ) 0.111 ... es igual a 1, y en la base 3 (el sistema numérico ternario ) 0.222 ... es igual a 1. En general, cualquier expresión de base b de terminación tiene una contraparte con rastreo repetido dígitos iguales ab - 1. Es probable que los libros de texto de análisis real omitan el ejemplo de 0.999 ... y presenten una o ambas de estas generalizaciones desde el principio. [26]
Las representaciones alternativas de 1 también ocurren en bases no enteras. Por ejemplo, en la base de proporción áurea , las dos representaciones estándar son 1.000 ... y 0.101010 ..., y hay infinitas más representaciones que incluyen 1 adyacentes. Generalmente, para casi todo q entre 1 y 2, hay innumerables expansiones base- q de 1. Por otro lado, todavía hay incontables q (incluyendo todos los números naturales mayores que 1) para los cuales solo hay una base- q expansión de 1, aparte del trivial 1.000 .... Este resultado fue obtenido por primera vez por Paul Erdős , Miklos Horváth e István Joó alrededor de 1990. En 1998 Vilmos Komornik y Paola Loreti determinaron la base más pequeña, la constante de Komornik-Loreti q = 1.787231650 .... En esta base, 1 = 0.11010011001011010010110011010011 ...; los dígitos vienen dados por la secuencia Thue-Morse , que no se repite. [27]
Una generalización de mayor alcance aborda los sistemas numéricos posicionales más generales . Ellos también tienen múltiples representaciones y, en cierto sentido, las dificultades son aún peores. Por ejemplo: [28]
- En el sistema ternario equilibrado , 1 ⁄ 2 = 0.111 ... = 1. 111 ....
- En el sistema numérico factorial inverso (usando bases 2!, 3!, 4!, ... para posiciones después del punto decimal), 1 = 1.000 ... = 0.1234 ....
Imposibilidad de representación única
El hecho de que todos estos diferentes sistemas numéricos sufran de múltiples representaciones para algunos números reales puede atribuirse a una diferencia fundamental entre los números reales como un conjunto ordenado y colecciones de infinitas cadenas de símbolos, ordenados lexicográficamente . De hecho, las siguientes dos propiedades explican la dificultad:
- Si un intervalo de los números reales se divide en dos partes no vacías L , R , de modo que cada elemento de L es (estrictamente) menor que cada elemento de R , entonces L contiene un elemento más grande o R contiene un elemento más pequeño, pero no ambos.
- La colección de infinitas cadenas de símbolos tomados de cualquier "alfabeto" finito, ordenados lexicográficamente, se puede dividir en dos partes no vacías L , R , de modo que cada elemento de L es menor que cada elemento de R , mientras que L contiene un mayor elemento y R contiene un elemento más pequeño. De hecho, es suficiente tomar dos prefijos finitos (subcadenas iniciales) p 1 , p 2 de elementos de la colección de modo que difieran solo en su símbolo final, para cuyo símbolo tienen valores sucesivos, y tomar como L el conjunto de todas las cadenas en la colección cuyo prefijo correspondiente es como máximo p 1 , y para R el resto, las cadenas de la colección cuyo prefijo correspondiente es al menos p 2 . Entonces L tiene un elemento más grande, comenzando con p 1 y eligiendo el símbolo más grande disponible en todas las posiciones siguientes, mientras que R tiene un elemento más pequeño obtenido siguiendo p 2 por el símbolo más pequeño en todas las posiciones.
El primer punto se deriva de las propiedades básicas de los números reales: L tiene un supremo y R un mínimo , que se ven fácilmente como iguales; al ser un número real, se encuentra en R o en L , pero no en ambos, ya que se supone que L y R son disjuntos . El segundo punto generaliza el par 0.999 ... / 1.000 ... obtenido para p 1 = "0", p 2 = "1". De hecho, no es necesario utilizar el mismo alfabeto para todas las posiciones (de modo que, por ejemplo , se puedan incluir sistemas de base mixtos ) o considerar la colección completa de cadenas posibles; los únicos puntos importantes son que en cada posición se puede elegir un conjunto finito de símbolos (que incluso puede depender de los símbolos anteriores) (esto es necesario para garantizar opciones máximas y mínimas), y que hacer una elección válida para cualquier posición debería da como resultado una cadena infinita válida (por lo que no se debe permitir "9" en cada posición mientras se prohíbe una sucesión infinita de "9" s). Bajo estos supuestos, el argumento anterior muestra que un mapa de preservación de orden de la colección de cadenas a un intervalo de los números reales no puede ser una biyección : o algunos números no corresponden a ninguna cadena, o algunos de ellos corresponden a más de una cadena. .
Marko Petkovšek ha demostrado que para cualquier sistema posicional que nombre todos los números reales, el conjunto de reales con múltiples representaciones es siempre denso. Él llama a la demostración "un ejercicio instructivo en topología elemental de conjuntos de puntos "; implica ver conjuntos de valores posicionales como espacios de Stone y darse cuenta de que sus representaciones reales están dadas por funciones continuas . [29]
Aplicaciones
Una aplicación de 0.999 ... como representación de 1 ocurre en la teoría de números elemental . En 1802, H. Goodwin publicó una observación sobre la aparición de 9 en las representaciones decimales repetidas de fracciones cuyos denominadores son ciertos números primos . Ejemplos incluyen:
- 1 ⁄ 7 = 0. 142857 y 142 + 857 = 999.
- 1 ⁄ 73 = 0. 01369863 y 0136 + 9863 = 9999.
E. Midy demostró un resultado general sobre tales fracciones, ahora llamado teorema de Midy , en 1836. La publicación era oscura, y no está claro si su prueba involucraba directamente 0.999 ..., pero al menos una demostración moderna de WG Leavitt sí lo hace. Si se puede demostrar que si un decimal de la forma 0. b 1 b 2 b 3 ... es un entero positivo, entonces debe ser 0.999 ..., que es entonces la fuente de los 9 en el teorema. [30] Las investigaciones en esta dirección pueden motivar conceptos como los máximos divisores comunes , la aritmética modular , los números primos de Fermat , el orden de los elementos del grupo y la reciprocidad cuadrática . [31]
Volviendo al análisis real, el análogo en base 3 0.222 ... = 1 juega un papel clave en la caracterización de uno de los fractales más simples , el conjunto de Cantor de tercios medios :
- Un punto en el intervalo unitario se encuentra en el conjunto de Cantor si y solo si se puede representar en ternario usando solo los dígitos 0 y 2.
El n º dígitos de la representación refleja la posición del punto en el n º etapa de la construcción. Por ejemplo, el punto A 2 ⁄ 3 se le da la representación habitual de 0.2 o 0.2000 ..., ya que se encuentra a la derecha de la primera eliminación y a la izquierda de cada eliminación a partir de entonces. El punto 1 ⁄ 3 se representa no como 0,1 sino como 0,0222 ..., ya que se encuentra a la izquierda de la primera eliminación y a la derecha de todas las eliminaciones posteriores. [32]
La repetición de nueves también aparece en otra de las obras de Georg Cantor. Deben tenerse en cuenta para construir una prueba válida, aplicando su argumento diagonal de 1891 a las expansiones decimales, de la incontablecimiento del intervalo unitario. Tal demostración necesita poder declarar que ciertos pares de números reales son diferentes en función de sus expansiones decimales, por lo que es necesario evitar pares como 0.2 y 0.1999 ... Un método simple representa todos los números con expansiones no terminales; el método opuesto descarta la repetición de nueves. [33] Una variante que puede estar más cerca del argumento original de Cantor en realidad usa la base 2, y al convertir las expansiones de la base 3 en las expansiones de la base 2, también se puede probar la incontables veces del conjunto de Cantor. [34]
Escepticismo en la educación
Los estudiantes de matemáticas a menudo rechazan la igualdad de 0.999 ... y 1, por razones que van desde su apariencia dispar hasta profundos recelos sobre el concepto de límite y desacuerdos sobre la naturaleza de los infinitesimales . Hay muchos factores comunes que contribuyen a la confusión:
- Los estudiantes a menudo están "mentalmente comprometidos con la noción de que un número puede representarse de una y sólo una forma con un decimal". Ver dos decimales manifiestamente diferentes que representan el mismo número parece ser una paradoja , que se ve amplificada por la aparición del aparentemente bien entendido número 1. [35]
- Algunos estudiantes interpretan "0.999 ..." (o una notación similar) como una cadena grande pero finita de 9, posiblemente con una longitud variable no especificada. Si aceptan una cadena infinita de nueves, aún pueden esperar un último 9 "en el infinito". [36]
- La intuición y la enseñanza ambigua llevan a los estudiantes a pensar en el límite de una secuencia como una especie de proceso infinito en lugar de un valor fijo, ya que una secuencia no necesita alcanzar su límite. Cuando los estudiantes aceptan la diferencia entre una secuencia de números y su límite, pueden leer "0.999 ..." como la secuencia en lugar de su límite. [37]
Estas ideas están equivocadas en el contexto de los números reales estándar, aunque algunas pueden ser válidas en otros sistemas numéricos, ya sea inventadas por su utilidad matemática general o como contraejemplos instructivos para comprender mejor 0.999 ...
Muchas de estas explicaciones fueron encontradas por David Tall , quien ha estudiado las características de la enseñanza y la cognición que conducen a algunos de los malentendidos que ha encontrado en sus estudiantes universitarios. Al entrevistar a sus estudiantes para determinar por qué la gran mayoría inicialmente rechazó la igualdad, descubrió que "los estudiantes continuaron concibiendo 0.999 ... como una secuencia de números que se acerca cada vez más a 1 y no a un valor fijo, porque 'no has especificó cuántos lugares hay 'o' es el decimal más cercano posible por debajo de 1 ' ". [38]
El argumento elemental de multiplicar 0.333 ... = 1 ⁄ 3 por 3 puede convencer a los estudiantes reacios de que 0.999 ... = 1. Sin embargo, cuando se enfrentan al conflicto entre su creencia en la primera ecuación y su incredulidad en la segunda, algunos estudiantes comienzan a no creer en la primera ecuación o simplemente se vuelven frustrado. [39] Tampoco los métodos más sofisticados son infalibles: los estudiantes que son completamente capaces de aplicar definiciones rigurosas aún pueden recurrir a imágenes intuitivas cuando se sorprenden con un resultado en matemáticas avanzadas, incluido 0.999 ... Por ejemplo, un estudiante de análisis real pudo demostrar que 0.333 ... = 1 ⁄ 3 usando unadefinición superior , pero luego insistió en que 0.999 ... <1 basado en su comprensión anterior de la división larga. [40] Otros todavía pueden demostrar que 1 ⁄ 3 = 0.333 ..., pero, al ser confrontado por la prueba fraccionaria , insista en que la "lógica" reemplaza a los cálculos matemáticos.
Joseph Mazur cuenta la historia de un brillante estudiante de cálculo que "desafió casi todo lo que dije en clase pero nunca cuestionó su calculadora", y que había llegado a creer que nueve dígitos son todo lo que uno necesita para hacer matemáticas, incluido el cálculo del cuadrado. raíz de 23. El estudiante permaneció incómodo con un argumento limitante de que 9,99 ... = 10, llamándolo un "proceso de crecimiento infinito salvajemente imaginado". [41]
Como parte de la teoría APOS del aprendizaje matemático de Ed Dubinsky , él y sus colaboradores (2005) proponen que los estudiantes que conciben 0.999 ... como una cuerda finita e indeterminada con una distancia infinitamente pequeña de 1 "aún no han construido una concepción de proceso completa del decimal infinito ". Otros estudiantes que tienen una concepción de proceso completo de 0,999 ... quizás todavía no sean capaces de "encapsular" ese proceso en una "concepción de objeto", como la concepción de objeto que tienen de 1, y por eso ven el proceso 0,999 ... y el objeto 1 como incompatible. Dubinsky y col. también vincula esta capacidad mental de encapsulación con la visualización 1 ⁄ 3 como un número por derecho propio y para tratar el conjunto de números naturales como un todo. [42]
Fenómeno cultural
Con el auge de Internet , los debates sobre 0.999 ... se han convertido en algo común en los grupos de noticias y foros de mensajes , incluidos muchos que nominalmente tienen poco que ver con las matemáticas. En el grupo de noticias sci.math , discutir sobre 0.999 ... se describe como un "deporte popular", y es una de las preguntas respondidas en su FAQ . [43] Las preguntas frecuentes cubren brevemente 1 ⁄ 3 , multiplicación por 10 y límites, y también alude a secuencias de Cauchy.
Una edición de 2003 de la columna del periódico de interés general The Straight Dope analiza 0.999 ... a través de 1 ⁄ 3 y límites, diciendo de conceptos erróneos,
El primate inferior en nosotros todavía se resiste, diciendo: .999 ~ no representa realmente un número , entonces, sino un proceso . Para encontrar un número tenemos que detener el proceso, momento en el que la cosa .999 ~ = 1 se desmorona. Disparates. [44]
Un artículo de Slate informa que el concepto de 0.999 ... es "muy discutido en sitios web que van desde los foros de mensajes de World of Warcraft hasta los foros de Ayn Rand ". [45] En la misma línea, la cuestión de 0.999 ... resultó ser un tema tan popular en los primeros siete años de los foros de Battle.net de Blizzard Entertainment que la compañía emitió un "comunicado de prensa" el Día de los Inocentes de 2004 que es 1:
Estamos muy emocionados de cerrar el libro sobre este tema de una vez por todas. Hemos sido testigos del dolor y la preocupación sobre si .999 ~ equivale o no a 1, y estamos orgullosos de que la siguiente prueba resuelva de manera definitiva y concluyente el problema para nuestros clientes. [46]
Luego se ofrecen dos pruebas, basadas en límites y multiplicación por 10.
0.999 ... características también en chistes matemáticos , como: [47]
P: ¿Cuántos matemáticos se necesitan para enroscar una bombilla ?
A: 0.999999 ....
En sistemas numéricos alternativos
Aunque los números reales forman un sistema numérico extremadamente útil , la decisión de interpretar la notación "0.999 ..." como nombrar un número real es en última instancia una convención, y Timothy Gowers sostiene en Mathematics: A Very Short Introduction que la identidad resultante 0.999. .. = 1 también es una convención:
Sin embargo, de ninguna manera es una convención arbitraria, porque no adoptarla obliga a uno a inventar nuevos objetos extraños o a abandonar algunas de las reglas familiares de la aritmética. [48]
Se pueden definir otros sistemas numéricos utilizando diferentes reglas u objetos nuevos; en algunos de estos sistemas numéricos, las demostraciones anteriores necesitarían ser reinterpretadas y uno podría encontrar que, en un sistema numérico dado, 0.999 ... y 1 podrían no ser idénticos. Sin embargo, muchos sistemas numéricos son extensiones del sistema numérico real (en lugar de alternativas independientes a él), por lo que 0.999 ... = 1 continúa siendo válido. Incluso en tales sistemas numéricos, sin embargo, vale la pena examinar sistemas numéricos alternativos, no solo por cómo se comporta 0.999 ... (si, de hecho, un número expresado como "0.999 ..." es significativo y no ambiguo), sino también para el comportamiento de fenómenos relacionados. Si tales fenómenos difieren de los del sistema de números reales, entonces al menos uno de los supuestos integrados en el sistema debe fallar.
Infinitesimales
Algunas pruebas de que 0,999 ... = 1 se basan en la propiedad de Arquímedes de los números reales: que no hay infinitesimales distintos de cero . Específicamente, la diferencia 1 - 0.999 ... debe ser menor que cualquier número racional positivo, por lo que debe ser infinitesimal; pero como los reales no contienen infinitesimales distintos de cero, la diferencia es, por tanto, cero y, por tanto, los dos valores son iguales.
Sin embargo, existen estructuras algebraicas ordenadas matemáticamente coherentes , que incluyen varias alternativas a los números reales, que no son de Arquímedes. El análisis no estándar proporciona un sistema numérico con una gama completa de infinitesimales (y sus inversos). [49] AH Lightstone desarrolló una expansión decimal para números hiperreales en (0, 1) ∗ . [50] Lightstone muestra cómo asociar a cada número una secuencia de dígitos,
indexado por los números hipernaturales . Si bien no discute directamente 0.999 ..., muestra el número real 1 ⁄ 3 está representado por 0.333 ...; ... 333 ... que es una consecuencia del principio de transferencia . Como consecuencia, el número 0.999 ...; ... 999 ... = 1. Con este tipo de representación decimal, no todas las expansiones representan un número. En particular, "0.333 ...; ... 000 ..." y "0.999 ...; ... 000 ..." no corresponden a ningún número.
La definición estándar del número 0.999 ... es el límite de la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, ... Una definición diferente involucra lo que Terry Tao llama ultralímite , es decir, la clase de equivalencia [(0.9, 0.99, 0.999, ...)] de esta secuencia en la construcción de ultrapotencia , que es un número que no llega a 1 en una cantidad infinitesimal. De manera más general, el número hiperreal u H = 0.999 ...; ... 999000 ..., con el último dígito 9 en el rango hipernatural infinito H , satisface una desigualdad estricta u H <1. En consecuencia, se siguió una interpretación alternativa para "cero por un número infinito de 9 "podría ser
Todas estas interpretaciones de "0.999 ..." están infinitamente cerca de 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma "completamente razonable" de justificar rigurosamente la intuición de que "falta un poquito" de 1 en 0.999 .... [ 52] Junto con Katz & Katz, Robert Ely también cuestiona la suposición de que las ideas de los estudiantes sobre 0.999 ... <1 son intuiciones erróneas sobre los números reales, interpretándolas más bien como intuiciones no estándar que podrían ser valiosas en el aprendizaje del cálculo. [53] [54] José Benardete en su libro Infinity: Un ensayo en metafísica sostiene que algunas intuiciones prematemáticas naturales no se pueden expresar si uno se limita a un sistema numérico demasiado restrictivo:
Se ha descubierto, muchas veces, que la inteligibilidad del continuo requiere que el dominio de los números reales se amplíe para incluir infinitesimales. Este dominio ampliado puede denominarse el dominio de los números continuos. Ahora será evidente que .9999 ... no es igual a 1, pero está infinitesimalmente por debajo de él. Creo que .9999 ... de hecho debería admitirse como un número ... aunque no como un número real . [55]
Hackenbush
La teoría de juegos combinatorios también proporciona reales alternativos, con el infinito Blue-Red Hackenbush como un ejemplo particularmente relevante. En 1974, Elwyn Berlekamp describió una correspondencia entre cadenas de Hackenbush y expansiones binarias de números reales, motivada por la idea de la compresión de datos . Por ejemplo, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL ... es 0.010101 2 ... = 1 ⁄ 3 . Sin embargo, el valor de LRLLL ... (correspondiente a 0.111 ... 2 ) es infinitesimalmente menor que 1. La diferencia entre los dos es el número surrealista1 ⁄ ω , donde ω es el primer ordinal infinito ; el juego relevante es LRRRR ... o 0.000 ... 2 . [56]
De hecho, esto es cierto para las expansiones binarias de muchos números racionales, donde los valores de los números son iguales pero las rutas correspondientes del árbol binario son diferentes. Por ejemplo, 0.10111 ... 2 = 0.11000 ... 2 , que son ambos iguales a 3/4, pero la primera representación corresponde a la ruta del árbol binario LRLRLLL ... mientras que la segunda corresponde a la ruta diferente LRLLRRR ... .
Revisando la resta
Otra forma en que las demostraciones podrían verse socavadas es si 1 - 0,999 ... simplemente no existe, porque la resta no siempre es posible. Las estructuras matemáticas con una operación de suma, pero no una operación de resta incluyen conmutativos semigroups , monoides conmutativas y semirings . Richman considera dos de estos sistemas, diseñados de modo que 0,999 ... <1.
Primero, Richman define un número decimal no negativo como una expansión decimal literal. Él define el orden lexicográfico y una operación de suma, señalando que 0.999 ... <1 simplemente porque 0 <1 en el lugar de las unidades, pero para cualquier x no terminal , uno tiene 0.999 ... + x = 1 + x . Entonces, una peculiaridad de los números decimales es que la suma no siempre se puede cancelar; otro es que ningún número decimal corresponde a 1 ⁄ 3 . Después de definir la multiplicación, los números decimales forman un semirrígido conmutativo positivo, totalmente ordenado. [57]
En el proceso de definir la multiplicación, Richman también define otro sistema que él llama "corte D ", que es el conjunto de cortes de Dedekind de fracciones decimales. Por lo general, esta definición conduce a los números reales, pero para una fracción decimal d permite tanto el corte (−∞, d ) como el "corte principal" (−∞, d ]. El resultado es que los números reales están "viviendo incómodamente junto con "las fracciones decimales. De nuevo 0.999 ... <1. No hay infinitesimales positivos en el corte D , pero hay" una especie de infinitesimal negativo ", 0 - , que no tiene expansión decimal. Concluye que 0.999 .. . = 1 + 0 - , mientras que la ecuación "0.999 ... + x = 1" no tiene solución. [58]
p -números ádicos
Cuando se les pregunta acerca de 0.999 ..., los novatos a menudo creen que debería haber un "9 final", creyendo que 1 - 0.999 ... es un número positivo que escriben como "0.000 ... 1". Si eso tiene sentido o no, el objetivo intuitivo es claro: agregar un 1 al 9 final en 0.999 ... llevaría todos los 9 a 0 y dejaría un 1 en el lugar de las unidades. Entre otras razones, esta idea falla porque no hay un "9 final" en 0.999 ... [59] Sin embargo, hay un sistema que contiene una cadena infinita de 9, incluyendo un último 9.
Los números p -ádicos son un sistema numérico alternativo de interés en la teoría de números . Al igual que los números reales, los números p -ádicos se pueden construir a partir de números racionales mediante secuencias de Cauchy ; la construcción usa una métrica diferente en la que 0 está más cerca de p , y mucho más cerca de p n , que de 1. Los números p -ádicos forman un campo para p primos y un anillo para otros p , incluido 10. Así que la aritmética se puede realizar en los p -ádicos, y no hay infinitesimales.
En los números 10-ádicos, los análogos de las expansiones decimales van hacia la izquierda. La expansión 10-ádica ... 999 tiene un último 9, y no un primer 9. Uno puede agregar 1 al lugar de las unidades, y deja solo 0 después de realizar: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, entonces ... 999 = −1. [60] Otra derivación utiliza una serie geométrica. La serie infinita implícita en "... 999" no converge en los números reales, sino que converge en los 10-adics, por lo que se puede reutilizar la fórmula familiar:
(Compare con la serie anterior ). Una estudiante de séptimo grado inventó una tercera derivación que tenía dudas sobre el argumento limitante de su maestra de que 0.999 ... = 1, pero se inspiró para tomar la prueba de multiplicar por 10 anterior en la dirección opuesta : si x = ... 999 entonces 10 x = ... 990, entonces 10 x = x - 9, por lo tanto x = −1 nuevamente. [60]
Como extensión final, desde 0.999 ... = 1 (en los reales) y ... 999 = −1 (en los 10-adics), entonces por "fe ciega y desvergonzado malabarismo de símbolos" [62] se puede agregar las dos ecuaciones y llegar a ... 999.999 ... = 0. Esta ecuación no tiene sentido ni como una expansión 10-ádica ni como una expansión decimal ordinaria, pero resulta ser significativa y verdadera en la expansión decimal doblemente infinita del solenoide 10-ádico , con extremos izquierdos que se repiten eventualmente para representar los números reales [63] y que eventualmente se repiten extremos derechos para representar los números 10-ádicos.
Ultrafinitismo
La filosofía del ultrafinitismo rechaza como conceptos sin sentido que tratan con conjuntos infinitos, como la idea de que la notaciónpodría representar un número decimal con una secuencia infinita de nueves , así como la suma de un número infinito de númeroscorrespondiente a los valores posicionales de los dígitos decimales en esa cadena infinita. En este enfoque de las matemáticas, solo es significativo un número particular (fijo) de dígitos decimales finitos. En lugar de "igualdad", se tiene "igualdad aproximada", que es la igualdad hasta el número de dígitos decimales que se le permite calcular. [64] Aunque Katz y Katz argumentan que el ultrafinitismo puede capturar la intuición del estudiante de que 0,999 ... debería ser menor que 1, las ideas del ultrafinitismo no gozan de una aceptación generalizada en la comunidad matemática y la filosofía carece de un consenso generalizado. fundamento matemático formal. [sesenta y cinco]
Preguntas relacionadas
- Las paradojas de Zenón , en particular la paradoja del corredor, recuerdan la aparente paradoja de que 0,999 ... y 1 son iguales. La paradoja del corredor puede modelarse matemáticamente y luego, como 0.999 ..., resolverse usando una serie geométrica. Sin embargo, no está claro si este tratamiento matemático aborda los problemas metafísicos subyacentes que Zeno estaba explorando. [66]
- La división por cero ocurre en algunas discusiones populares de 0.999 ..., y también genera controversias. Si bien la mayoría de los autores optan por definir 0,999 ..., casi todos los tratamientos modernos dejan la división por cero sin definir, ya que no se le puede dar ningún significado en los números reales estándar. Sin embargo, la división por cero se define en algunos otros sistemas, como el análisis complejo , donde el plano complejo extendido , es decir, la esfera de Riemann , tiene un " punto en el infinito ". Aquí, tiene sentido definir 1 ⁄ 0 para ser infinito; [67] y, de hecho, los resultados son profundos y aplicables a muchos problemas de ingeniería y física. Algunos matemáticos prominentes abogaron por tal definición mucho antes de que se desarrollara cualquiera de los sistemas numéricos. [68]
- El cero negativo es otra característica redundante de muchas formas de escribir números. En sistemas numéricos, como los números reales, donde "0" denota la identidad aditiva y no es ni positivo ni negativo, la interpretación habitual de "−0" es que debe denotar el inverso aditivo de 0, lo que obliga a −0 = 0 . [69] Sin embargo, algunas aplicaciones científicas uso positivo independiente y ceros negativos, al igual que algunos sistemas de computación de números binarios (por ejemplo, números enteros almacenados en el signo y la magnitud o el complemento a uno los números de formatos, o de punto flotante según lo especificado por la norma IEEE flotante estándar de puntos ). [70] [71]
Ver también
- Límite (matemáticas)
- Serie (matemáticas)
- Matemáticas ingenuas
- Finitismo
Notas
- ^ Esta definición es equivalente a la definición de números decimales como los límites de sus componentes sumados, que, en el caso de 0.999 ..., es el límite de la secuencia (0.9, 0.99, 0.999, ...). La equivalencia se debe a que las secuencias crecientes acotadas tienen su límite siempre igual a su límite superior mínimo .
- ^ Rudin p. 61, teorema 3.26; J. Stewart pág. 706
- ^ Euler p. 170
- ^ Grattan-Guinness p. 69; Bonnycastle p. 177
- ^ Por ejemplo, J. Stewart p. 706, Rudin pág. 61, Protter y Morrey p. 213, Pugh pág. 180, JB Conway pág. 31
- ^ El límite se sigue, por ejemplo, de Rudin p. 57, Teorema 3.20e. Para un enfoque más directo, véase también Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas 'Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, Nueva York. Sección 8.1, ejemplo 2 (a), ejemplo 6 (b).
- ^ Davies p. 175; Smith y Harrington p. 115
- ^ Beals p. 22; I. Stewart p. 34
- ^ Bartle y Sherbert págs. 60-62; Pedrick p. 29; Sohrab p. 46
- ^ Apostol págs. 9, 11-12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27
- ^ Apostol p. 12
- ↑ La síntesis histórica es reivindicada por Griffiths y Hilton (p.xiv) en 1970 y nuevamente por Pugh (p. 10) en 2001; ambos prefieren los cortes de Dedekind a los axiomas. Para el uso de cortes en libros de texto, vea Pugh p. 17 o Rudin p. 17. Para los puntos de vista sobre la lógica, Pugh p. 10, Rudin p.ix, o Munkres p. 30
- ↑ Enderton (p. 113) matiza esta descripción: "La idea detrás de los cortes de Dedekind es que un número real x se puede nombrar dando un conjunto infinito de racionales, es decir, todos los racionales menores que x . En efecto, definiremos x como el conjunto de racionales menor que x . Para evitar circularidad en la definición, debemos ser capaces de caracterizar los conjuntos de racionales obtenibles de esta manera ... "
- ^ Rudin págs. 17-20, Richman pág. 399, o Enderton p. 119. Para ser precisos, Rudin, Richman y Enderton llaman a este corte 1 *, 1 - y 1 R , respectivamente; los tres lo identifican con el número real tradicional 1. Tenga en cuenta que lo que Rudin y Enderton llaman un corte de Dedekind, Richman lo llama un "corte de Dedekind no principal".
- ^ Richman p. 399
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- ↑ Maor (p. 60) y Mankiewicz (p. 151) revisan el método anterior; Mankiewicz lo atribuye a Cantor, pero la fuente principal no está clara. Munkres (p. 50) menciona este último método.
- ^ Rudin p. 50, Pugh pág. 98
- ^ Manojo p. 119; Tall y Schwarzenberger p. 6. La última sugerencia se debe a Burrell (p. 28): "Quizás el más tranquilizador de todos los números es el 1 ... Así que es particularmente inquietante cuando alguien intenta hacer pasar 0.9 ~ como 1."
- ^ Tall y Schwarzenberger págs. 6-7; Alto 2000 p. 221
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enlaces externos
- .999999 ... = 1? de cortar el nudo
- ¿Por qué 0.9999 ... = 1?
- Prueba de la igualdad basada en la aritmética.
- La investigación de David Tall sobre la cognición matemática
- ¿Qué hay de malo en pensar en los números reales como infinitos decimales?
- Teorema 0.999 ... sobre Metamath