Hipercubo

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ). Es una figura cerrada , compacta , convexa cuyo 1- esqueleto está formado por grupos de segmentos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a .${\ Displaystyle {\ sqrt {n}}}$

Un hipercubo n -dimensional se conoce más comúnmente como un n - cubo o, a veces, como un cubo n -dimensional . El término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^[1] también se utiliza, sobre todo en el trabajo de HSM Coxeter , que también etiqueta a los hipercubos como politopos γ n . ^[2]

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una unidad . A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices ) son los 2 ⁿ puntos en R ⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se denomina hipercubo unitario.

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes se puede formalizar matemáticamente como una suma de Minkowski : el hipercubo d -dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares y, por lo tanto, es un ejemplo de un zonótopo .

Un hipercubo unitario de dimensión es el casco convexo de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas son iguales a o . Este hipercubo es también el producto cartesiano de copias del intervalo unitario . Otro hipercubo unitario, centrado en el origen del espacio ambiental, puede obtenerse de éste mediante una traslación . Es el casco convexo de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$ ${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle [0,1] ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$

Aquí el símbolo significa que cada coordenada es igual ao a . Esta unidad hipercubo es también el producto cartesiano . Cualquier hipercubo unitario tiene una longitud de borde y un volumen dimensional de .${\ Displaystyle \ pm}$${\ Displaystyle 1/2}$${\ Displaystyle -1/2}$${\ Displaystyle [-1 / 2,1 / 2] ^ {n}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 1}$

Un diagrama que muestra cómo crear un tesseract a partir de un punto.

Una animación que muestra cómo crear un tesseract a partir de un punto.

Proyección de un tesseract rotatorio .