hipercubo

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ). Es una figura cerrada , compacta , convexa cuyo 1- esqueleto consiste en grupos de segmentos de recta paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a .${\ estilo de visualización {\ sqrt {n}}}$

Un hipercubo n -dimensional se conoce más comúnmente como un cubo n o, a veces, como un cubo n -dimensional . El término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^[1] también se usa, especialmente en el trabajo de HSM Coxeter , quien también etiqueta los hipercubos como politopos γ n . ^[2]

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una unidad de longitud . A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices ) son los 2 ⁿ puntos en R ⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se denomina hipercubo unitario.

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes se puede formalizar matemáticamente como una suma de Minkowski : el hipercubo d -dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares y, por lo tanto, es un ejemplo de un zonotopo .

Un hipercubo unitario de dimensión es la envolvente convexa de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas son iguales a o . Este hipercubo es también el producto cartesiano de copias del intervalo unitario . Otro hipercubo unitario, centrado en el origen del espacio ambiente, se puede obtener de éste mediante una traslación . Es la envolvente convexa de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización 0}$${\ estilo de visualización 1}$ ${\ estilo de visualización [0,1] ^ {n}}$${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización [0,1]}$

Aquí el símbolo significa que cada coordenada es igual o igual a . Este hipercubo unitario es también el producto cartesiano . Cualquier unidad de hipercubo tiene una longitud de borde y un volumen dimensional de .${\ estilo de visualización \ pm}$${\ estilo de visualización 1/2}$${\ estilo de visualización -1/2}$${\ estilo de visualización [-1/2, 1/2]^{n}}$${\ estilo de visualización 1}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización 1}$

Un diagrama que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.

Una animación que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.