heptadecágono
Como 17 es un primo de Fermat , el heptadecágono regular es un polígono construible (es decir, uno que se puede construir usando un compás y una regla sin marcar ): esto fue demostrado por Carl Friedrich Gauss en 1796 a la edad de 19 años. [1] Esto La prueba representó el primer progreso en la construcción de polígonos regulares en más de 2000 años. [1] La prueba de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresabilidad de las funciones trigonométricas del ángulo común en términos de operaciones aritméticas y extracciones de raíces cuadradas , y en segundo lugar en su prueba de que esto se puede hacer si los factores primos impares de, el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, que tienen la forma de algún número entero no negativo . Por lo tanto, construir un heptadecágono regular implica encontrar el coseno de en términos de raíces cuadradas, lo que implica una ecuación de grado 17: un primo de Fermat. El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae da esto como (en notación moderna): [2]
Euclides había dado construcciones para el triángulo regular , el pentágono , el pentadecágono y los polígonos con 2 h veces más lados, pero los antiguos desconocían las construcciones basadas en los números primos de Fermat distintos de 3 y 5. (Los únicos números primos de Fermat conocidos son F n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537).
Herbert William Richmond dio la construcción explícita de un heptadecágono en 1893. El siguiente método de construcción utiliza círculos de Carlyle , como se muestra a continuación. Basado en la construcción del 17-ágono regular, uno puede construir fácilmente n -ágonos siendo n el producto de 17 con 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: un 51-ágono regular, 85-ágono o 255 -gon y cualquier n -gon regular con 2 h veces más lados.
TP Stowell de Rochester, NY, respondió a Query, de WE Heal, Wheeling, Indiana en The Analyst en el año 1874: [4]
"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Dibuje el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tome OQ igual a la mitad y OD igual a la octava parte del radio: Haga DE y DF cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente iguales a EQ y FQ; tómese OK una media proporcional entre OH y OQ, y por K, dibuje KM paralelo a AB, cortando el semicírculo descrito en OG en M; dibuje MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N - el arco AN es la decimoséptima parte de la circunferencia total".
El heptadecágono regular tiene simetría Dih 17 , orden 34. Dado que 17 es un número primo , hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih 1 , y 2 simetrías de grupos cíclicos : Z 17 y Z 1 .
"enviado por TP Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Agregado: "tome OK una media proporcional entre OH y OQ"
