En geometría , un pentadecágono o pentakaidecágono o 15 gon es un polígono de quince lados .
Pentadecágono regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 15 |
Símbolo de Schläfli | {15} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diédrico (D 15 ), orden 2 × 15 |
Ángulo interno ( grados ) | 156 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Pentadecágono regular
Un pentadecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {15}.
Un pentadecágono regular tiene ángulos interiores de 156 ° , y con una longitud de lado a , tiene un área dada por
Usos
Un triángulo, un decágono y un pentadecágono regulares no pueden llenar completamente un vértice plano . [ cita requerida ]
Construcción
Como 15 = 3 × 5, un producto de distintos números primos de Fermat , un pentadecágono regular es construible usando compás y regla : Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con circuncírculo dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los Elementos de Euclides . [1]
Compare la construcción según Euclides en esta imagen: Pentadecágono
En la construcción para circunferencia dada: es un lado de un triángulo equilátero y es un lado de un pentágono regular. [2] El punto divide el radio en proporción áurea :
En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las siguientes dos imágenes se muestran los dos arcos circulares (para ángulos de 36 ° y 24 °) rotados 90 ° en sentido antihorario. No usan el segmento, sino que utilizan segmento como radio para el segundo arco circular (ángulo de 36 °).
Una construcción de brújula y regla para una longitud de lado determinada. La construcción es casi igual a la del pentágono en un lado dado , luego también la presentación se logra mediante la extensión de un lado y genera un segmento, aquí que se divide según la proporción áurea:
Circumradius Largo de lado Ángulo
Simetría
El pentadecágono regular tiene una simetría diédrica Dih 15 , orden 30, representada por 15 líneas de reflexión. Dih 15 tiene 3 subgrupos diedros: Dih 5 , Dih 3 y Dih 1 . Y cuatro simetrías cíclicas más : Z 15 , Z 5 , Z 3 y Z 1 , con Z n representando la simetría rotacional π / n radianes.
En el pentadecágono, hay 8 simetrías distintas. John Conway etiqueta estas simetrías con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [3] Da r30 para la simetría reflectante completa, Dih 15 . Da d (diagonal) con líneas de reflexión a través de vértices, p con líneas de reflexión a través de aristas (perpendiculares) y para el pentadecágono de lados impares i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría cíclica. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir pentadecágonos irregulares. Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Pentadecagramas
Hay tres polígonos de estrellas regulares : {15/2}, {15/4}, {15/7}, construidos a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.
También hay tres figuras de estrellas regulares : {15/3}, {15/5}, {15/6}, el primero es un compuesto de tres pentágonos , el segundo un compuesto de cinco triángulos equiláteros y el tercero un compuesto de tres pentagramas .
La cifra compuesta {15/3} puede verse vagamente como el equivalente bidimensional del compuesto 3D de cinco tetraedros .
Imagen | {15/2} | {15/3} o 3 {5} | {15/4} | {15/5} o 5 {3} | {15/6} o 3 {5/2} | {15/7} |
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Angulo interior | 132 ° | 108 ° | 84 ° | 60 ° | 36 ° | 12 ° |
Pentadecágonos isogonales
Los truncamientos más profundos del pentadecágono regular y los pentadecagramas pueden producir formas poligonales de estrellas intermedias isogonales ( transitivas de vértice ) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de borde. [4]
Truncamientos transitivos de vértice del pentadecágono | ||||||||
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Cuasirregular | Isogonal | Cuasirregular | ||||||
t {15/2} = {30/2} | t {15/13} = {30/13} | |||||||
t {15/7} = {30/7} | t {15/8} = {30/8} | |||||||
t {15/11} = {30/22} | t {15/4} = {30/4} |
Polígonos de Petrie
El pentadecágono regular es el polígono de Petrie para algunos politopos de mayor dimensión, proyectados en una proyección ortogonal sesgada :
14 simplex (14D) |
Ver también
- Construcción del pentadecágono a la longitud del lado dada, cálculo del circunradio (Alemán)
- Construcción del pentadecágono en una longitud lateral dada, ejemplificación: circunradio
Referencias
- ^ Dunham, William (1991). Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas (PDF) . Pingüino. pag. 65 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 , a través de la Facultad de Artes y Ciencias Matemáticas de la Universidad de Kentucky.
- ^ Kepler, Johannes, traducido e iniciado por MAX CASPAR 1939. WELT-HARMONIK (en alemán). pag. 44 . Consultado el 7 de diciembre de 2015 , a través de Google Books. Consultado el 5 de junio de 2017.
- ^ John H. Conway , Heidi Burgiel , Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Pentadecágono" . MathWorld .