En matemáticas, un polígono construible es un polígono regular que se puede construir con compás y regla . Por ejemplo, un pentágono regular se puede construir con brújula y regla, mientras que un heptágono regular no lo es. Hay infinitos polígonos construibles, pero solo se conocen 31 con un número impar de lados.
Condiciones de constructibilidad
Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con brújula y regla; otros no lo son. Los matemáticos griegos antiguos sabían cómo construir un polígono regular con 3, 4 o 5 lados, [1] : p. xi y sabían cómo construir un polígono regular con el doble de lados de un polígono regular dado. [1] : págs. 49–50 Esto llevó a que se planteara la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con compás y regla no graduada? Si no es así, ¿qué n- gones (es decir, polígonos con n aristas) son construibles y cuáles no?
Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del 17-gon regular en 1796. Cinco años más tarde, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss declaró sin pruebas que esta condición también era necesaria , pero nunca publicó su prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel :
- Un n -gon regular (es decir, un polígono con n lados) se puede construir con compás y regla no graduada si y solo si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier número de números primos de Fermat distintos (incluido ninguno).
(Un primo de Fermat es un número primo de la forma)
Para reducir un problema geométrico a un problema de teoría numérica pura , la demostración usa el hecho de que un n -gon regular es construible si y solo si el coseno ,, es un número construible , es decir, se puede escribir en términos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. De manera equivalente, un n -gon regular es construible si cualquier raíz del n - ésimo polinomio ciclotómico es construible.
Resultados detallados de la teoría de Gauss
Reafirmando el teorema de Gauss-Wantzel:
- Un n -gon regular es construible con regla y compás si y solo si n = 2 k p 1 p 2 ... p t donde k y t son números enteros no negativos, y p i 's (cuando t > 0) son números primos de Fermat distintos.
Los cinco números primos de Fermat conocidos son:
Dado que hay 31 combinaciones de uno a cinco números primos de Fermat, hay 31 polígonos construibles conocidos con un número impar de lados.
Se sabe que los siguientes veintiocho números de Fermat, F 5 a F 32 , son compuestos. [2]
Por lo tanto, un n -gon regular es construible si
- n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (secuencia A003401 en la OEIS ),
mientras que un n -gon regular no se puede construir con brújula y regla si
- n = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36 , 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45 , 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72 , 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (secuencia A004169 en la OEIS ).
Conexión al triángulo de Pascal
Dado que hay 5 números primos de Fermat conocidos, conocemos 31 números que son productos de distintos primos de Fermat y, por lo tanto, 31 polígonos regulares de lados impares construibles. Estos son 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (secuencia A045544 en la OEIS ). Como comentó John Conway en The Book of Numbers , estos números, cuando se escriben en binario, son iguales a las primeras 32 filas del triángulo de Pascal módulo -2 , menos la fila superior, que corresponde a un monogon . (Debido a esto, los 1 en dicha lista forman una aproximación al triángulo de Sierpiński ). Este patrón se rompe después de esto, ya que el siguiente número de Fermat es compuesto (4294967297 = 641 × 6700417), por lo que las siguientes filas no corresponden a polígonos construibles. Se desconoce si existen más números primos de Fermat y, por lo tanto, se desconoce cuántos polígonos regulares construibles de lados impares existen. En general, si hay q números primos de Fermat, entonces hay 2 q −1 polígonos construibles regulares de lados impares.
Teoría general
A la luz de trabajos posteriores sobre la teoría de Galois , se han aclarado los principios de estas pruebas. Es sencillo demostrar a partir de la geometría analítica que las longitudes construibles deben provenir de las longitudes de las bases mediante la solución de alguna secuencia de ecuaciones cuadráticas . [3] En términos de teoría de campo , tales longitudes deben estar contenidas en una extensión de campo generada por una torre de extensiones cuadráticas . Se deduce que un campo generado por construcciones siempre tendrá un grado sobre el campo base que es una potencia de dos.
En el caso específico de un n -gon regular , la cuestión se reduce a la cuestión de construir una longitud
- porque 2 π/norte ,
que es un número trigonométrico y, por tanto, un número algebraico . Este número se encuentra en el n - ésimo campo ciclotómico y, de hecho, en su subcampo real, que es un campo totalmente real y un espacio vectorial racional de dimensión.
- ½φ ( n ),
donde φ ( n ) es la función totient de Euler . El resultado de Wantzel se reduce a un cálculo que muestra que φ ( n ) es una potencia de 2 precisamente en los casos especificados.
En cuanto a la construcción de Gauss, cuando el grupo de Galois es de 2 grupos, se sigue que tiene una secuencia de subgrupos de órdenes.
- 1, 2, 4, 8, ...
que están anidados, cada uno en el siguiente (una serie de composición , en términos de teoría de grupos ), algo simple de probar por inducción en este caso de un grupo abeliano . Por lo tanto, hay subcampos anidados dentro del campo ciclotómico, cada uno de grado 2 sobre el anterior. Los generadores para cada uno de estos campos pueden escribirse mediante la teoría del período gaussiano . Por ejemplo, para n = 17 hay un período que es la suma de ocho raíces de la unidad, uno que es la suma de cuatro raíces de la unidad y otro que es la suma de dos, que es
- porque 2 π/17 .
Cada uno de ellos es una raíz de una ecuación cuadrática en términos de la anterior. Además, estas ecuaciones tienen raíces reales más que complejas , por lo que en principio se pueden resolver mediante construcción geométrica: esto se debe a que todo el trabajo se desarrolla dentro de un campo totalmente real.
De esta forma, el resultado de Gauss puede entenderse en términos actuales; para que se resuelva el cálculo real de las ecuaciones, los períodos se pueden cuadrar y comparar con los períodos "inferiores", en un algoritmo bastante factible.
Construcciones con brújula y regla
Las construcciones de brújula y regla son conocidas para todos los polígonos construibles conocidos. Si n = p · q con p = 2 op y q coprime , se puede construir un n -gon a partir de un p -gon y un q -gon.
- Si p = 2, dibujar una q -gon y bisect uno de sus ángulos centrales. A partir de esto, se puede construir un 2 q -gon.
- Si p > 2, inscriba un p -gon y un q -gon en el mismo círculo de tal manera que compartan un vértice. Debido a que p y q son primos, existe números enteros a , b de tal manera que ap + bq = 1 . Entonces 2aπ / q + 2bπ / p = 2π / pq . A partir de esto, se puede construir un p · q -gon.
Por lo tanto, solo tiene que encontrar una construcción de compás y regla para n -gones donde n es un número primo de Fermat.
- La construcción de un triángulo equilátero es simple y se conoce desde la Antigüedad . Ver triángulo equilátero .
- Las construcciones para el pentágono regular fueron descritas tanto por Euclides ( Elements , ca 300 AC) como por Ptolomeo ( Almagest , ca 150 DC). Ver pentágono .
- Aunque Gauss demostró que el 17-gon regular es construible, en realidad no mostró cómo hacerlo. La primera construcción se debe a Erchinger, unos años después del trabajo de Gauss. Ver heptadecágono .
- Las primeras construcciones explícitas de un 257-gon regular fueron dadas por Magnus Georg Paucker (1822) [4] y Friedrich Julius Richelot (1832). [5]
- Johann Gustav Hermes (1894) dio por primera vez una construcción para un 65537-gon regular . La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas. [6]
Galería
De izquierda a derecha, construcciones de 15 gon , 17 gon , 257 gon y 65537 gon . Solo se muestra la primera etapa de la construcción 65537-gon; las construcciones de 15 gon, 17 gon y 257 gon se dan completas.
Otras construcciones
El concepto de constructibilidad que se analiza en este artículo se aplica específicamente a la construcción con brújula y regla . Se hacen posibles más construcciones si se permiten otras herramientas. Las denominadas construcciones neusis , por ejemplo, utilizan una regla marcada . Las construcciones son una idealización matemática y se supone que se hacen exactamente.
Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisector de ángulo si y solo sidonde r, s, k ≥ 0 y donde p i son distintos primos de Pierpont mayores que 3 (primos de la forma[7] : Thm. 2
Ver también
- Polígono
- Círculo de Carlyle
Referencias
- ^ a b Atrevido, Benjamin. Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos , Publicaciones de Dover, 1982 (orig. 1969).
- ^ Estado de factorización de Fermat Archivado el 10 de febrero de 2016 en la Wayback Machine por Wilfrid Keller.
- ^ Cox, David A. (2012), "Teorema 10.1.6", Teoría de Galois , Matemáticas puras y aplicadas (2ª ed.), John Wiley & Sons, p. 259, doi : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
- ^ Magnus Georg Paucker (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (en alemán). 2 : 160–219.
- ^ Friedrich Julius Richelot (1832). "De resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (en latín). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi : 10.1515 / crll.1832.9.337 .
- ^ Johann Gustav Hermes (1894). "Über die Teilung des Kreises en 65537 gleiche Teile" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán). Göttingen. 3 : 170-186.
- ^ Gleason, Andrew M. (marzo de 1988). "Trisección del ángulo, el heptágono y el triskaidecágono". American Mathematical Monthly . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307 / 2323624 .
enlaces externos
- Duane W. DeTemple (1991). "Círculos de Carlyle y la simplicidad de Lemoine de construcciones poligonales". The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–108. doi : 10.2307 / 2323939 . JSTOR 2323939 . Señor 1089454 .
- Christian Gottlieb (1999). "La construcción simple y directa del regular 257-gon". Intelligencer matemático . 21 (1): 31–37. doi : 10.1007 / BF03024829 . Señor 1665155 .
- Fórmulas de polígonos regulares , pregunte a Dr. Math FAQ.
- Carl Schick: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analytische Lösung des 257-Ecks. Zúrich: C. Schick, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 .
- 65537-gon, construcción exacta para el 1er lado , usando la Quadratrix de Hippias y GeoGebra como ayudas adicionales, con una breve descripción (alemán)