Geometría del taxi

Tipo de geometría usando la métrica Manhattan o L1

Geometría del taxi versus distancia euclidiana: En la geometría del taxi, las rutas roja, amarilla y azul tienen la misma longitud de ruta más corta de 12. En la geometría euclidiana, la línea verde tiene una longitud y es la ruta más corta única.${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.49}$

Una geometría de taxi es una forma de geometría en la que la función de distancia habitual o métrica de la geometría euclidiana se reemplaza por una nueva métrica en la que la distancia entre dos puntos es la suma de las diferencias absolutas de sus coordenadas cartesianas . La métrica de taxis también se conoce como distancia rectilínea , L ₁ distancia , L ¹ distancia o norma (ver L ^p espacio ), serpiente distancia ,${\displaystyle \ell _{1}}$distancia de manzana , distancia de Manhattan o longitud de Manhattan , con las correspondientes variaciones en el nombre de la geometría. ^[1] Los últimos nombres aluden al trazado de cuadrícula de la mayoría de las calles de la isla de Manhattan , lo que hace que el camino más corto que un automóvil pueda tomar entre dos intersecciones en el distrito tenga una longitud igual a la distancia de las intersecciones en la geometría del taxi.

La geometría se ha utilizado en el análisis de regresión desde el siglo XVIII y, en la actualidad, a menudo se la denomina LASSO . La interpretación geométrica data de la geometría no euclidiana del siglo XIX y se debe a Hermann Minkowski .

Definicion formal

La distancia en taxi , entre dos vectores en un espacio vectorial real n- dimensional con sistema de coordenadas cartesianas fijo , es la suma de las longitudes de las proyecciones del segmento de línea entre los puntos en los ejes de coordenadas . Más formalmente,${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$

${\displaystyle d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|,}$

donde estan los vectores${\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}$

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ and }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$

Por ejemplo, en el avión , la distancia en taxi entre y es${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$${\displaystyle |p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|.}$

Propiedades

La distancia del taxi depende de la rotación del sistema de coordenadas, pero no depende de su reflexión sobre un eje de coordenadas o su traslación . La geometría del taxi satisface todos los axiomas de Hilbert (una formalización de la geometría euclidiana ) excepto el axioma lado-ángulo-lado , ya que dos triángulos con dos lados igualmente "largos" y un ángulo idéntico entre ellos no suelen ser congruentes a menos que los lados mencionados resulten ser paralelo.

Círculos

Círculos en geometría de taxi discreta y continua

Un círculo es un conjunto de puntos con una distancia fija, llamada radio , desde un punto llamado centro . En la geometría de los taxis, la distancia está determinada por una métrica diferente a la de la geometría euclidiana, y la forma de los círculos también cambia. Los círculos del taxi son cuadrados con lados orientados en un ángulo de 45 ° con respecto a los ejes de coordenadas. La imagen de la derecha muestra por qué esto es cierto, mostrando en rojo el conjunto de todos los puntos con una distancia fija desde un centro, mostrado en azul. A medida que disminuye el tamaño de las manzanas de la ciudad, los puntos se vuelven más numerosos y se convierten en un cuadrado girado en una geometría de taxi continua. Si bien cada lado tendría una longitud usando una métrica euclidiana , donde r${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$es el radio del círculo, su longitud en la geometría del taxi es 2 r . Por tanto, la circunferencia de un círculo es 8 r . Por tanto, el valor de una geometría análoga a es 4 en esta geometría. La fórmula para el círculo unitario en la geometría del taxi está en coordenadas cartesianas y π {\ Displaystyle \ pi} ${\displaystyle |x|+|y|=1}$

${\displaystyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}$

en coordenadas polares .

Un círculo de radio 1 (usando esta distancia) es la vecindad de von Neumann de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( L ∞ métrica ) en un plano también es un cuadrado con una longitud de lado 2 r paralela a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede verse como equivalente mediante rotación y escala a la distancia plana del taxi. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

Siempre que cada par en una colección de estos círculos tiene una intersección no vacía, existe un punto de intersección para toda la colección; por lo tanto, la distancia de Manhattan forma un espacio métrico inyectivo .

Aplicaciones

Medidas de distancias en ajedrez

En ajedrez , la distancia entre casillas en el tablero de ajedrez para torres se mide en taxi; los reyes y las reinas usan la distancia de Chebyshev , y los alfiles usan la distancia de taxi (entre casillas del mismo color) en el tablero de ajedrez girado 45 grados, es decir, con sus diagonales como ejes de coordenadas. Para pasar de una casilla a otra, solo los reyes requieren un número de movimientos igual a su distancia respectiva; las torres, las reinas y los alfiles requieren uno o dos movimientos (en un tablero vacío, y asumiendo que el movimiento es posible en el caso del alfil).

Detección comprimida

Al resolver un sistema indeterminado de ecuaciones lineales, el término de regularización para el vector de parámetros se expresa en términos de la -norm (geometría del taxi) del vector. ^[2] Este enfoque aparece en el marco de recuperación de señales llamado detección comprimida .${\displaystyle \ell _{1}}$

Diferencias de distribuciones de frecuencia

La geometría del taxi se puede utilizar para evaluar las diferencias en distribuciones de frecuencia discretas. Por ejemplo, en las distribuciones posicionales de empalme de ARN de hexámeros , que grafican la probabilidad de que cada hexámero aparezca en cada nucleótido dadocerca de un sitio de empalme, se puede comparar con la distancia L1. Cada distribución de posición se puede representar como un vector donde cada entrada representa la probabilidad de que el hexámero comience en un determinado nucleótido. Una gran distancia L1 entre los dos vectores indica una diferencia significativa en la naturaleza de las distribuciones, mientras que una pequeña distancia denota distribuciones de forma similar. Esto es equivalente a medir el área entre las dos curvas de distribución porque el área de cada segmento es la diferencia absoluta entre las probabilidades de las dos curvas en ese punto. Cuando se suma para todos los segmentos, proporciona la misma medida que la distancia L1. ^[3]

Historia

La métrica L ¹ fue utilizada en el análisis de regresión en 1757 por Roger Joseph Boscovich . ^[4] La interpretación geométrica data de finales del siglo XIX y el desarrollo de geometrías no euclidianas , en particular por Hermann Minkowski y su desigualdad de Minkowski , de la cual esta geometría es un caso especial, particularmente utilizado en la geometría de números ( Minkowski 1910 ). A la formalización de los espacios L p se le atribuye ( Riesz 1910 ).

Ver también

• Quince rompecabezas
• Distancia de Hamming  : número de bits que difieren entre dos cadenas
• Cableado de Manhattan
• Distancia de Mannheim
• Métrica  : función matemática que define la distancia
• Distancia de Minkowski
• Espacio vectorial normado: espacio  vectorial en el que se define una distancia
• Casco convexo ortogonal  : superconjunto mínimo que interseca cada línea paralela al eje en un intervalo
• Caminata aleatoria  : formalización matemática de una ruta que consta de una sucesión de pasos aleatorios

Notas

1. Negro, Paul E. "Distancia de Manhattan" . Diccionario de algoritmos y estructuras de datos . Consultado el 6 de octubre de 2019 .
2. Donoho, David L. (23 de marzo de 2006). "Para la mayoría de los grandes sistemas indeterminados de ecuaciones lineales, la solución de norma mínima es también la solución más escasa". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 59 (6): 797–829. doi : 10.1002 / cpa.20132 .${\displaystyle \ell _{1}}$
3. Lim, Kian Huat; Ferraris, Luciana; Filloux, Madeleine E .; Rafael, Benjamin J .; Fairbrother, William G. (5 de julio de 2011). "Utilizando la distribución posicional para identificar elementos de empalme y predecir defectos de procesamiento de pre-ARNm en genes humanos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 108 (27): 11093–11098. Código bibliográfico : 2011PNAS..10811093H . doi : 10.1073 / pnas.1101135108 . PMC 3131313 . PMID 21685335 .  
4. Stigler, Stephen M. (1986). La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900 . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 9780674403406. Consultado el 6 de octubre de 2019 .

Referencias

• Krause, Eugene F. (1987). Geometría del taxi . Dover. ISBN 978-0-486-25202-5.
• Minkowski, Hermann (1910). Geometrie der Zahlen (en alemán). Leipzig y Berlín: RG Teubner. JFM  41.0239.03 . Señor  0249269 . Consultado el 6 de octubre de 2019 .
• Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" . Mathematische Annalen (en alemán). 69 (4): 449–497. doi : 10.1007 / BF01457637 . hdl : 10338.dmlcz / 128558 . S2CID  120242933 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Métrica del taxi" . MathWorld .
• Malkevitch, Joe (1 de octubre de 2007). "¡Taxi!" . Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 6 de octubre de 2019 .