Función de densidad de probabilidad 2-EPT

Función de densidad 2-EPT

Parámetros	${\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{P}))<0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{N}))>0}$
Apoyo	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]{\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}$
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}{\textbf {A}}_{N}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]1+{\textbf {c}}_{P}{\textbf {A}}_{P}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}$
Significar	${\displaystyle -{\textbf {c}}_{N}(-{\textbf {A}}_{N})^{-2}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(-{\textbf {A}}_{P})^{-2}{\textbf {b}}_{P}}$
CF	${\displaystyle -{\textbf {c}}_{N}(Iiu-{\textbf {A}}_{N})^{-1}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(Iiu-{\textbf {A}}_{P})^{-1}{\textbf {b}}_{P}}$

En la teoría de la probabilidad , una función de densidad de probabilidad 2-EPT es una clase de funciones de densidad de probabilidad en la línea real. La clase contiene las funciones de densidad de todas las distribuciones que tienen funciones características que son funciones racionales estrictamente adecuadas (es decir, el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador).

Definición

Una función de densidad de probabilidad 2-EPT es una función de densidad de probabilidad en con un racional estrictamente propia función característica . En cualquiera de los dos o estas funciones de densidad de probabilidad son exponenciales-polinomio-trigonométricas funciones (EPT).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,+\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$

Cualquier función de densidad EPT activada se puede representar como${\displaystyle (-\infty ,0)}$

${\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N},}$

donde e representa una matriz exponencial, son matrices cuadradas, son vectores de columna y son vectores de fila. De manera similar, la función de densidad EPT se expresa como ${\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {A}}_{P})}$${\displaystyle ({\textbf {b}}_{N},{\textbf {b}}_{P})}$${\displaystyle ({\textbf {c}}_{N},{\textbf {c}}_{P})}$${\displaystyle [0,-\infty )}$

${\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}.}$

La parametrización es la realización mínima ^[1] de la función 2-EPT.${\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})}$

La clase general de medidas de probabilidad con funciones características racionales (adecuadas) son las densidades correspondientes a mezclas de la masa puntual en cero (" distribución delta ") y densidades 2-EPT. A diferencia de las distribuciones de tipo de fase y geométricas de matriz ^[2] , las funciones de densidad de probabilidad 2-EPT se definen en toda la línea real. Se ha demostrado que la clase de densidades 2-EPT está cerrada en muchas operaciones y, utilizando realizaciones mínimas, estos cálculos se han ilustrado para el marco de dos caras en Sexton y Hanzon. ^[3] La operación más complicada es la convolución.${\displaystyle \mathbb {R} }$de densidades 2-EPT utilizando técnicas de espacio de estados. Gran parte del trabajo se centra en la capacidad de descomponer la función característica racional en la suma de dos funciones racionales con polos ubicados en el semiplano abierto izquierdo o derecho abierto. Se ha demostrado que la densidad de distribución de varianza-gamma es una densidad 2-EPT bajo una restricción de parámetro y el proceso de varianza gamma ^[4] se puede implementar para demostrar los beneficios de adoptar un enfoque de este tipo para fines de modelado financiero.

Se puede demostrar usando el teorema de Parseval y una isometría que la aproximación de la transformada racional de tiempo discreto es equivalente a la aproximación de la densidad 2-EPT en sí misma en el sentido de la Norma L-2. El software de aproximación racional RARL2 se utiliza para aproximar la función característica racional de tiempo discreto de la densidad. ^[5]

Aplicaciones

Entre los ejemplos de aplicaciones se incluyen la fijación de precios de opciones, la informática griega y los cálculos de gestión de riesgos. ^{[ cita requerida ]} También se ha considerado ajustar las funciones de densidad 2-EPT a los datos empíricos. ^[6]

Notas

1. Kailath, T. (1980) Sistemas lineales , Prentice Hall, 1980
2. Neuts, M. "Distribuciones de probabilidad de tipo de fase", Liber Amicorum Prof. Emérito H. Florin páginas 173-206, Departamento de Matemáticas, Universidad de Lovaina, Bélgica 1975
3. Sexton, C. y Hanzon, B., "Cálculos de espacio de estado para densidades de EPT de dos caras con aplicaciones de modelado financiero", www.2-ept.com
4. Madan, D., Carr, P., Chang, E. (1998) "El proceso de variación gamma y la fijación de precios de opciones", European Finance Review 2: 79-105
5. Olivi, M. (2010) "Parametrización de matrices racionales sin pérdidas con aplicaciones a la teoría de sistemas lineales", Tesis de HDR ^{[ se necesita cita completa ]}
6. Sexton, C., Olivi, M., Hanzon, B, "Aproximación racional de las funciones de transferencia para densidades de EPT no negativas", Borrador de documento

enlaces externos

• 2 - Sitio web de funciones de densidad de probabilidad exponencial-polinomial-trigonométrica (2-EPT) para implementaciones de fondo y Matlab