En matemáticas , el teorema de Parseval [1] generalmente se refiere al resultado de que la transformada de Fourier es unitaria ; vagamente, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada. Tiene su origen en un teorema de 1799 sobre series de Marc-Antoine Parseval , que luego se aplicó a la serie de Fourier . También se conoce como el teorema de la energía de Rayleigh , o la identidad de Rayleigh , en honor a John William Strutt , Lord Rayleigh. [2]
Aunque el término "teorema de Parseval" se utiliza a menudo para describir la unitaridad de cualquier transformada de Fourier, especialmente en física , la forma más general de esta propiedad se llama más propiamente teorema de Plancherel . [3]
Declaración del teorema de Parseval
Suponer que y son dos funciones de valores complejos en de período que son integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en intervalos de duración del período, con series de Fourier
y
respectivamente. Luego
( Ecuación 1 )
dónde es la unidad imaginaria y las barras horizontales indican una conjugación compleja . Sustituyendo y :
Como es el caso con los términos intermedios en este ejemplo, muchos términos se integrarán a durante un período completo de duración(ver armónicos ):
De manera más general, dado un grupo abeliano localmente compacto G con Pontryagin dual G ^ , el teorema de Parseval dice que la transformada de Pontryagin-Fourier es un operador unitario entre los espacios de Hilbert L 2 ( G ) y L 2 ( G ^ ) (con integración contra la apropiada medidas de Haar en escala en los dos grupos.) Cuando G es el círculo unitario T , G ^ son los números enteros y este es el caso discutido anteriormente. Cuando G es la línea real, G ^ también esy la transformada unitaria es la transformada de Fourier en la línea real. Cuando G es el grupo cíclico Z n , nuevamente es auto-dual y la transformada de Pontryagin-Fourier es lo que se llama transformada discreta de Fourier en contextos aplicados.
El teorema de Parseval también se puede expresar de la siguiente manera: Suponga es una función cuadrática integrable sobre (es decir, y son integrables en ese intervalo), con la serie de Fourier
Notación utilizada en física
En física e ingeniería, el teorema de Parseval a menudo se escribe como:
dónde representa la transformada de Fourier continua (en forma unitaria normalizada) de, y es la frecuencia en radianes por segundo.
La interpretación de esta forma del teorema es que la energía total de una señal se puede calcular sumando la potencia por muestra a lo largo del tiempo o la potencia espectral a lo largo de la frecuencia.
Para señales de tiempo discretas , el teorema se convierte en:
dónde es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de y representa la frecuencia angular (en radianes por muestra) de.
Alternativamente, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación se convierte en:
dónde es la DFT de , ambos de longitud .
Ver también
El teorema de Parseval está estrechamente relacionado con otros resultados matemáticos que involucran transformaciones unitarias:
Notas
- ↑ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'integration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants "presentado ante la Académie des Sciences (París) el 5 de abril de 1799. Este artículo fue publicado en Mémoires présentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.) , vol. 1, páginas 638–648 (1806).
- ^ Rayleigh, JWS (1889) "Sobre el carácter de la radiación completa a una temperatura dada", Philosophical Magazine , vol. 27, páginas 460–469. Disponible en línea aquí .
- ↑ Plancherel, Michel (1910) "Contribución a la educación de la representación de una función arbitral par les integrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, páginas 298–335.
- ^ Arthur E. Danese (1965). Cálculo avanzado . 1 . Boston, MA: Allyn y Bacon, Inc. p. 439.
- ^ Wilfred Kaplan (1991). Cálculo avanzado (4ª ed.). Reading, MA: Addison Wesley. pag. 519 . ISBN 0-201-57888-3.
- ^ Georgi P. Tolstov (1962). Serie de Fourier . Traducido por Silverman, Richard. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. p. 119 .
Referencias
- Parseval , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
- George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos (Harcourt: San Diego, 2001).
- Hubert Kennedy, Ocho biografías matemáticas (Publicaciones perentorias: San Francisco, 2002).
- Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer, Procesamiento de señales en tiempo discreto 2da edición (Prentice Hall: Upper Saddle River, Nueva Jersey, 1999) p 60.
- William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), págs. 410–411.
- David W. Kammler, Un primer curso de análisis de Fourier (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2000) p. 74.
enlaces externos
- Teorema de Parseval en Mathworld