Una distribución de tipo de fase es una distribución de probabilidad construida por una convolución o mezcla de distribuciones exponenciales . [1] Es el resultado de un sistema de uno o más procesos de Poisson interrelacionados que ocurren en secuencia o fases. La secuencia en la que ocurre cada una de las fases puede ser en sí misma un proceso estocástico . La distribución se puede representar mediante una variable aleatoria que describe el tiempo hasta la absorción de un proceso de Markov con un estado de absorción. Cada uno de los estados del proceso de Markov representa una de las fases.
Parámetros | matriz de subgenerador , vector de fila de probabilidad | ||
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Significar | |||
Mediana | no hay forma simple cerrada | ||
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Tiene un equivalente en tiempo discreto: la distribución de tipo de fase discreta .
El conjunto de distribuciones de tipo fase es denso en el campo de todas las distribuciones con valores positivos, es decir, se puede utilizar para aproximar cualquier distribución con valores positivos.
Definición
Considere un proceso de Markov de tiempo continuo con m + 1 estados, donde m ≥ 1, tal que los estados 1, ..., m son estados transitorios y el estado 0 es un estado absorbente. Además, deje que el proceso tenga una probabilidad inicial de comenzar en cualquiera de las fases m + 1 dadas por el vector de probabilidad ( α 0 , α ) donde α 0 es un escalar y α es un vector 1 × m .
La distribución de tipo de fase continua es la distribución del tiempo desde el inicio del proceso anterior hasta la absorción en el estado de absorción.
Este proceso se puede escribir en forma de matriz de tasas de transición ,
donde S es una matriz m × m y S 0 = –S 1 . Aquí 1 representa un vector de columna m × 1 con cada elemento siendo 1.
Caracterización
La distribución del tiempo X hasta que el proceso alcanza el estado de absorción se dice que es de tipo de fase distribuida y se denota PH ( α , S ).
La función de distribución de X viene dada por,
y la función de densidad,
para todo x > 0, donde exp (·) es la matriz exponencial . Por lo general, se asume que la probabilidad de que el proceso comience en el estado de absorción es cero (es decir, α 0 = 0). Los momentos de la función de distribución están dados por
La transformada de Laplace de la distribución de tipo de fase está dada por
donde yo es la matriz de identidad.
Casos especiales
Las siguientes distribuciones de probabilidad se consideran casos especiales de una distribución de tipo de fase continua:
- Distribución degenerada , masa puntual en cero o distribución de tipo fase vacía - 0 fases.
- Distribución exponencial - 1 fase.
- Distribución de Erlang : 2 o más fases idénticas en secuencia.
- Distribución determinista (o constante): el caso límite de una distribución de Erlang, ya que el número de fases se vuelve infinito, mientras que el tiempo en cada estado se vuelve cero.
- Distribución Coxiana: 2 o más fases (no necesariamente idénticas) en secuencia, con una probabilidad de transición al estado de terminación / absorción después de cada fase.
- Distribución hiperexponencial (también llamada mezcla de exponencial): 2 o más fases no idénticas, cada una de las cuales tiene una probabilidad de ocurrir de manera mutuamente excluyente o paralela. (Nota: la distribución exponencial es la situación degenerada cuando todas las fases paralelas son idénticas).
- Distribución hipoexponencial : 2 o más fases en secuencia, pueden ser no idénticas o una mezcla de fases idénticas y no idénticas, generaliza el Erlang.
Como la distribución de tipo de fase es densa en el campo de todas las distribuciones con valores positivos, podemos representar cualquier distribución con valores positivos. Sin embargo, el tipo de fase es una distribución platicúrtica o de cola clara. Entonces, la representación de la distribución de cola pesada o leptocúrtica por tipo de fase es una aproximación, incluso si la precisión de la aproximación puede ser tan buena como queramos.
Ejemplos de
En todos los ejemplos siguientes se supone que no hay masa de probabilidad en cero, es decir, α 0 = 0.
Distribución exponencial
El ejemplo no trivial más simple de una distribución de tipo de fase es la distribución exponencial del parámetro λ. Los parámetros de la distribución del tipo de fase son: S = -λ y α = 1.
Hiperexponencial o mezcla de distribución exponencial
La mezcla de distribución exponencial o hiperexponencial con λ 1 , λ 2 , ..., λ n > 0 se puede representar como una distribución de tipo de fase con
con y
Esta mezcla de densidades de variables aleatorias distribuidas exponencialmente se puede caracterizar mediante
o su función de distribución acumulativa
con
Distribución de Erlang
La distribución de Erlang tiene dos parámetros, la forma de un número entero k > 0 y la tasa λ> 0. Esto a veces se denota E ( k , λ). La distribución de Erlang se puede escribir en forma de distribución de tipo fase haciendo una matriz S a k × k con elementos diagonales -λ y elementos superdiagonales λ, con la probabilidad de comenzar en el estado 1 igual a 1. Por ejemplo, E (5, λ),
y
Para un número determinado de fases, la distribución de Erlang es la distribución de tipo de fase con el coeficiente de variación más pequeño. [2]
La distribución hipoexponencial es una generalización de la distribución de Erlang al tener diferentes tasas para cada transición (el caso no homogéneo).
Mezcla de distribución de Erlang
La mezcla de dos distribuciones de Erlang con parámetro E (3, β 1 ), E (3, β 2 ) y (α 1 , α 2 ) (tal que α 1 + α 2 = 1 y para cada i , α i ≥ 0 ) se puede representar como una distribución de tipo de fase con
y
Distribución coxiana
La distribución Coxiana es una generalización de la distribución Erlang . En lugar de solo poder entrar en el estado absorbente desde el estado k, se puede alcanzar desde cualquier fase. La representación del tipo de fase está dada por,
y
donde 0 < p 1 , ..., p k -1 ≤ 1. En el caso donde todo p i = 1 tenemos la distribución de Erlang. La distribución Coxiana es extremadamente importante ya que cualquier distribución de tipo de fase acíclica tiene una representación Coxiana equivalente.
La distribución coxiana generalizada relaja la condición que requiere comenzar en la primera fase.
Propiedades
Mínimos de variables aleatorias de PH independientes
De manera similar a la distribución exponencial , la clase de distribuciones de PH se cierra por debajo de mínimos de variables aleatorias independientes. Una descripción de esto está aquí .
Generación de muestras a partir de variables aleatorias distribuidas por tipo de fase
BuTools incluye métodos para generar muestras a partir de variables aleatorias distribuidas de tipo fase. [3]
Aproximación de otras distribuciones
Cualquier distribución puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una distribución de tipo de fase. [4] [5] En la práctica, sin embargo, las aproximaciones pueden ser deficientes cuando el tamaño del proceso de aproximación es fijo. Aproximando una distribución determinista de tiempo 1 con 10 fases, cada una de longitud media de 0,1 tendrá una varianza de 0,1 (porque la distribución de Erlang tiene la varianza más pequeña [2] ).
- BuTools un script de MATLAB y Mathematica para ajustar distribuciones de tipo de fase a 3 momentos especificados
- emparejar un momento de unscript MATLAB para ajustar una distribución mínima de tipo de fase a 3 momentos especificados [6]
- KPC-toolbox una biblioteca de scripts MATLAB para ajustar conjuntos de datos empíricos a los procesos de llegada de Markov y distribuciones de tipo de fase. [7]
Ajustar una distribución de tipo de fase a los datos
Los métodos para ajustar una distribución de tipo de fase a los datos se pueden clasificar como métodos de máxima verosimilitud o métodos de coincidencia de momentos. [8] Se ha demostrado que ajustar una distribución de tipo de fase a distribuciones de cola pesada es práctico en algunas situaciones. [9]
- PhFit un script en C para ajustar distribuciones de tipo de fase continua y discreta a los datos [10]
- EMpht es un script en C para ajustar distribuciones de tipo de fase a distribuciones de datos o paramétricas mediante un algoritmo de maximización de expectativas . [11]
- HyperStar se desarrolló en torno a la idea central de hacer que el ajuste de tipo de fase sea simple y fácil de usar, con el fin de avanzar en el uso de distribuciones de tipo de fase en una amplia gama de áreas. Proporciona una interfaz gráfica de usuario y produce buenos resultados de adaptación con poca interacción del usuario. [12]
- jPhase es una biblioteca de Java que también puede calcular métricas para colas utilizando la distribución de tipo de fase ajustada [13]
Ver también
- Distribución de tipo de fase discreta
- Proceso de Markov en tiempo continuo
- Distribución exponencial
- Distribución hiperexponencial
- Teoría de las colas
Referencias
- ^ Harchol-Balter, M. (2012). "Cargas de trabajo del mundo real: alta variabilidad y colas pesadas". Modelado y Diseño de Performance de Sistemas Computacionales . pag. 347. doi : 10.1017 / CBO9781139226424.026 . ISBN 9781139226424.
- ^ a b Aldous, David ; Shepp, Larry (1987). "La distribución de tipo de fase menos variable es erlang" (PDF) . Modelos estocásticos . 3 (3): 467. doi : 10.1080 / 15326348708807067 .
- ^ Horváth, GB; Reinecke, P .; Telek, MS; Wolter, K. (2012). "Generación eficiente de variables aleatorias distribuidas por PH". Técnicas y aplicaciones de modelado analítico y estocástico . Apuntes de conferencias en informática. 7314 . pag. 271. doi : 10.1007 / 978-3-642-30782-9_19 . ISBN 978-3-642-30781-2.
- ^ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (1998). "Soluciones de estado estacionario de cadenas de Markov". Redes de colas y cadenas de Markov . págs. 103-151. doi : 10.1002 / 0471200581.ch3 . ISBN 0471193666.
- ^ Cox, RD (2008). "Un uso de probabilidades complejas en la teoría de procesos estocásticos". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 51 (2): 313. doi : 10.1017 / S0305004100030231 .
- ^ Osogami, T .; Harchol-Balter, M. (2006). "Soluciones de forma cerrada para mapear distribuciones generales a distribuciones de PH cuasi-mínimas". Evaluación de desempeño . 63 (6): 524. doi : 10.1016 / j.peva.2005.06.002 .
- ^ Casale, G .; Zhang, EZ; Smirni, E. (2008). "Caja de herramientas de KPC: ajuste de seguimiento simple pero eficaz mediante procesos de llegada de Markov". 2008 Quinta Conferencia Internacional sobre Evaluación Cuantitativa de Sistemas (PDF) . pag. 83. doi : 10.1109 / QEST.2008.33 . ISBN 978-0-7695-3360-5.
- ^ Lang, Andreas; Arthur, Jeffrey L. (1996). "Aproximación de parámetros para distribuciones de tipo de fase". En Chakravarthy, S .; Alfa, Attahiru S. (eds.). Métodos analíticos matriciales en modelos estocásticos . Prensa CRC. ISBN 0824797663.
- ^ Ramaswami, V .; Poole, D .; Ahn, S .; Byers, S .; Kaplan, A. (2005). "Garantizar el acceso a los servicios de emergencia en presencia de largas llamadas de acceso telefónico a Internet". Interfaces . 35 (5): 411. doi : 10.1287 / inte.1050.0155 .
- ^ Horváth, András S .; Telek, Miklós S. (2002). "PhFit: una herramienta de ajuste de tipo de fase general". Evaluación del rendimiento informático: técnicas y herramientas de modelado . Apuntes de conferencias en informática. 2324 . pag. 82. doi : 10.1007 / 3-540-46029-2_5 . ISBN 978-3-540-43539-6.
- ^ Asmussen, Søren; Nerman, Olle; Olsson, Marita (1996). "Ajuste de distribuciones de tipo de fase a través del algoritmo EM". Revista Escandinava de Estadística . 23 (4): 419–441. JSTOR 4616418 .
- ^ Reinecke, P .; Krauss, T .; Wolter, K. (2012). "Ajuste basado en clústeres de distribuciones de tipo de fase a datos empíricos" . Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 64 (12): 3840. doi : 10.1016 / j.camwa.2012.03.016 .
- ^ Pérez, JF; Riaño, GN (2006). "jPhase: una herramienta orientada a objetos para modelar distribuciones de tipo de fase". Procedente del taller de 2006 sobre herramientas para resolver cadenas de Markov estructuradas (SMCtools '06) (PDF) . doi : 10.1145 / 1190366.1190370 . ISBN 1595935061.
- MF Neuts (1975), Distribuciones de probabilidad del tipo de fase, In Liber Amicorum Prof. Emérito H. Florin, páginas 173-206, Universidad de Lovaina.
- MF Neuts. Soluciones de matriz geométrica en modelos estocásticos: un enfoque algorítmico , Capítulo 2: Distribuciones de probabilidad de tipo de fase; Publicaciones de Dover Inc., 1981.
- G. Latouche, V. Ramaswami. Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico, 1ª edición. Capítulo 2: Distribuciones de PH; ASA SIAM, 1999.
- CA O'Cinneide (1990). Caracterización de distribuciones de tipo fase . Comunicaciones en estadística: modelos estocásticos, 6 (1), 1-57.
- CA O'Cinneide (1999). Distribución de tipo de fase: problemas abiertos y algunas propiedades , Comunicación en estadística: modelos estocásticos, 15 (4), 731-757.