En la teoría de los procesos estocásticos , una parte de la teoría matemática de la probabilidad , el proceso de varianza gamma (VG) , también conocido como movimiento de Laplace , es un proceso de Lévy determinado por un cambio de tiempo aleatorio. El proceso tiene momentos finitos que lo distinguen de muchos procesos de Lévy. No hay ningún componente de difusión en el proceso de VG y, por lo tanto, es un proceso de salto puro . Los incrementos son independientes y siguen una distribución varianza-gamma , que es una generalización de la distribución de Laplace .
Hay varias representaciones del proceso VG que lo relacionan con otros procesos. Por ejemplo, se puede escribir como un movimiento browniano. con deriva sujeto a un cambio de tiempo aleatorio que sigue un proceso gamma (de manera equivalente, se encuentra en la literatura la notación ):
Una forma alternativa de afirmar esto es que el proceso de varianza gamma es un movimiento browniano subordinado a un subordinador gamma .
Dado que el proceso VG es de variación finita, se puede escribir como la diferencia de dos procesos gamma independientes: [1]
dónde
Alternativamente, puede aproximarse mediante un proceso de Poisson compuesto que conduce a una representación con saltos (independientes) explícitamente dados y sus ubicaciones. Esta última caracterización proporciona una comprensión de la estructura de la ruta de la muestra con la ubicación y el tamaño de los saltos. [2]
Sobre la historia temprana del proceso de varianza-gamma, ver Seneta (2000). [3]
Momentos
La media de un proceso de varianza gamma es independiente de y y es dado por
La varianza se da como
El tercer momento central es
El cuarto momento central es
Precio de las opciones
El proceso VG puede ser ventajoso cuando se fijan precios de opciones, ya que permite un modelado más amplio de asimetría y curtosis que el movimiento browniano . Como tal, el modelo de gamma de varianza permite fijar el precio de las opciones de manera consistente con diferentes strikes y vencimientos utilizando un solo conjunto de parámetros. Madan y Seneta presentan una versión simétrica del proceso de varianza gamma. [4] Madan, Carr y Chang [1] amplían el modelo para permitir una forma asimétrica y presentan una fórmula para fijar el precio de las opciones europeas bajo el proceso de varianza gamma.
Hirsa y Madan muestran cómo fijar el precio de las opciones estadounidenses bajo gamma de variación. [5] Fiorani presenta soluciones numéricas para opciones de barrera europeas y americanas bajo el proceso de variación gamma. [6] También proporciona código de programación de computadoras para fijar el precio de la vainilla y las opciones de barrera europeas y americanas bajo el proceso de variación gamma.
Lemmens y col. [7] construya límites para opciones aritméticas asiáticas para varios modelos de Lévy, incluido el modelo gamma de varianza.
Aplicaciones a la modelización del riesgo crediticio
El proceso de varianza gamma se ha aplicado con éxito en la modelización del riesgo crediticio en modelos estructurales. La pura naturaleza de salto del proceso y la posibilidad de controlar el sesgo y la curtosis de la distribución permiten al modelo valorar correctamente el riesgo de impago de los valores que tienen un vencimiento corto, algo que generalmente no es posible con modelos estructurales en los que siguen los activos subyacentes. un movimiento browniano. Fiorani, Luciano y Semeraro [8] modelan los swaps de incumplimiento crediticio bajo gamma de varianza. En una prueba empírica extensa, muestran el rendimiento excesivo del precio bajo gamma de varianza, en comparación con modelos alternativos presentados en la literatura.
Simulación
Fu (2000) describe los métodos de Monte Carlo para el proceso de varianza gamma. [9] Los algoritmos son presentados por Korn et al. (2010). [10]
Simulación de VG como movimiento browniano con cambio de tiempo gamma
- Entrada: parámetros VG e incrementos de tiempo , dónde
- Inicialización: Establecer X (0) = 0.
- Bucle: Para i = 1 a N :
- Genera gamma independiente y normal variantes, independientemente de las variantes aleatorias pasadas.
- Regreso
Simulando VG como diferencia de gammas
Este enfoque [9] [10] se basa en la diferencia de representación gamma, dónde se definen como arriba.
- Entrada: parámetros VG] e incrementos de tiempo , dónde
- Inicialización: Establecer X (0) = 0.
- Bucle: Para i = 1 a N :
- Genere variantes de gamma independientes independientemente de las variaciones aleatorias pasadas.
- Regreso
Simulación de una ruta VG por diferencia de muestreo de puente gamma
Continuará ...
Gamma de varianza como distribución 2-EPT
Bajo la restricción de que Si es un número entero, la distribución gamma de la varianza se puede representar como una función de densidad de probabilidad 2-EPT . Bajo este supuesto, es posible derivar precios de opciones de vainilla de forma cerrada y sus griegos asociados . Para obtener una descripción completa, consulte. [11]
Referencias
- ↑ a b Dilip Madan, Peter Carr, Eric Chang (1998). "El proceso de variación gamma y el precio de las opciones" (PDF) . Revisión financiera europea . 2 : 79-105.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J .; Podgórski, Krzysztof (2001). La distribución y generalizaciones de Laplace: una revisión con aplicaciones a las comunicaciones, la economía, la ingeniería y las finanzas . Boston [ua]: Birkhäuser. ISBN 978-0817641665.
- ^ Eugene Seneta (2000). "Los primeros años del proceso varianza-gama". En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
- ^ Madan, Dilip B .; Seneta, Eugene (1990). "El modelo de varianza gamma (VG) para la rentabilidad del mercado de acciones". Revista de negocios . 63 (4): 511–524. doi : 10.1086 / 296519 . JSTOR 2353303 .
- ^ Hirsa, Ali; Madan, Dilip B. (2003). "Fijación de precios de opciones americanas bajo varianza gamma" . Revista de Finanzas Computacionales . 7 (2): 63–80. doi : 10.21314 / JCF.2003.112 .
- ^ Filo Fiorani (2004). Fijación de precios de opciones según el proceso de variación gamma . Tesis inédita. pag. 380. SSRN 1411741 . PDF .
- ^ Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Límites de precios para opciones aritméticas discretas asiáticas bajo modelos de Lévy", Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones , 389 (22): 5193–5207, doi : 10.1016 / j.physa.2010.07.026
- ^ Filo Fiorani, Elisa Luciano y Patrizia Semeraro, (2007), Incumplimiento único y conjunto en un modelo estructural con activos puramente discontinuos, Documento de trabajo núm. 41, Cuadernos de Carlo Alberto , Collegio Carlo Alberto. URL PDF
- ^ a b Michael C. Fu (2000). "Varianza-Gamma y Monte Carlo". En Michael C. Fu; Robert A. Jarrow; Ju-Yi J. Yen; Robert J. Elliott (eds.). Avances en finanzas matemáticas . Boston: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1.
- ^ a b Ralf Korn; Elke Korn y Gerald Kroisandt (2010). Métodos y modelos de Monte Carlo en finanzas y seguros . Boca Raton, Fla .: Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1-4200-7618-9. (Sección 7.3.3)
- ^ Sexton, C. y Hanzon, B., "Cálculos de espacio de estado para densidades de EPT de dos caras con aplicaciones de modelado financiero", www.2-ept.com