En matemáticas , el teorema de los 15 o el teorema de los quince de Conway-Schneeberger , probado por John H. Conway y WA Schneeberger en 1993, establece que si una forma cuadrática definida positiva con matriz de enteros representa todos los enteros positivos hasta 15, entonces representa todos los enteros positivos . [1] La prueba fue complicada y nunca se publicó. Manjul Bhargava encontró una prueba mucho más simple que se publicó en 2000. [2]
Bhargava aprovechó la ocasión de recibir el Premio SASTRA Ramanujan 2005 para anunciar que él y Jonathan P. Hanke habían descifrado la conjetura de Conway de que un teorema similar es válido para las formas cuadráticas integrales , con la constante 15 reemplazada por 290. [3] Desde entonces, la demostración ha sido apareció en forma de preimpresión. [4]
Detalles
Suponer es una matriz simétrica con entradas reales . Para cualquier vector con componentes enteros, definir
Esta función se llama forma cuadrática . Decimoses positivo definido si cuando sea . Si es siempre un número entero, llamamos a la función una forma cuadrática integral .
Obtenemos una forma cuadrática integral siempre que las entradas de la matriz son enteros; luegose dice que tiene una matriz de enteros . Sin embargo, seguirá siendo una forma cuadrática integral si las entradas fuera de la diagonal son números enteros divididos por 2, mientras que las entradas diagonales son números enteros. Por ejemplo, x 2 + xy + y 2 es integral pero no tiene matriz integral.
Una forma cuadrática integral positiva que toma todos los números enteros positivos como valores se llama universal . El teorema del 15 dice que una forma cuadrática con matriz entera es universal si toma los números del 1 al 15 como valores. Una versión más precisa dice que, si una forma cuadrática definida positiva con matriz integral toma los valores 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 (secuencia A030050 en el OEIS ), entonces toma todos los enteros positivos como valores. Además, para cada uno de estos 9 números, existe una forma cuadrática que toma todos los otros 8 números enteros positivos excepto este número como valores.
Por ejemplo, la forma cuadrática
es universal, porque cada entero positivo puede escribirse como una suma de 4 cuadrados, según el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange . Según el teorema del 15, para verificar esto, es suficiente comprobar que todo entero positivo hasta 15 es una suma de 4 cuadrados. (Esto no proporciona una prueba alternativa del teorema de Lagrange, porque el teorema de Lagrange se usa en la prueba del teorema 15).
Por otro lado,
es una forma cuadrática definida positiva con matriz integral que toma como valores todos los números enteros positivos distintos de 15.
El teorema 290 dice que una forma cuadrática integral definida positiva es universal si toma los números del 1 al 290 como valores. Una versión más precisa establece que, si una forma cuadrática integral con valor entero representa todos los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290 (secuencia A030051 en el OEIS ), entonces representa todos los enteros positivos, y para cada uno de estos 29 números, hay tal forma cuadrática que representa todos los otros 28 enteros positivos con la excepción de este número.
Bhargava ha encontrado criterios análogos para una forma cuadrática con matriz integral para representar todos los números primos (el conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} (secuencia A154363 en la OEIS )) y para tal forma cuadrática para representar todos los enteros impares positivos (el conjunto {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33} (secuencia A116582 en la OEIS )) .
Hahn [5] y Moon [6] (que proporciona pruebas) han escrito relatos expositivos de estos resultados .
Referencias
- ^ Conway, JH (2000). "Formas cuadráticas universales y el teorema de los quince". Formas cuadráticas y sus aplicaciones (Dublin, 1999) (PDF) . Desprecio. Matemáticas. 272 . Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc. págs. 23-26. ISBN 0-8218-2779-0. Zbl 0987.11026 .
- ^ Bhargava, Manjul (2000). "Sobre el teorema de los quince de Conway-Schneeberger". Formas cuadráticas y sus aplicaciones (Dublin, 1999) (PDF) . Desprecio. Matemáticas. 272 . Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc. págs. 27–37. ISBN 0-8218-2779-0. Señor 1803359 . Zbl 0987.11027 .
- ^ Alladi, Krishnaswami. "El legado de Ramanujan: el trabajo de los premiados SASTRA" . Philosophical Transactions de la Royal Society A . Editorial de la Royal Society . Consultado el 4 de febrero de 2020 .
- ^ Bhargava, M. y Hanke, J., Formas cuadráticas universales y el teorema 290 .
- ^ Alexander J. Hahn, Formas cuadráticas sobrede Diofanto al teorema 290 , Avances en álgebras de Clifford aplicadas, 2008, Volumen 18, Edición 3-4, 665-676
- ^ Yong Suk Moon, formas cuadráticas universales y el teorema del 15 y el teorema 290