Panal de 5 celdas

Figura geométrica

Nido de abeja 4-simplex
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Familia	Panal simplectic
Símbolo de Schläfli	{3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	{3,3,3} t 1 {3,3,3}
Tipos de celdas	{3,3} t 1 {3,3}
Tipos de rostro	{3}
Figura de vértice	t 0,3 {3,3,3}
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de abejas de 4 simplex , el panal de abejas de 5 celdas o el panal de abejas pentachórico-dispentachórico es un panal de mosaico de teselación que llena el espacio . Está compuesto por facetas de 5 celdas y 5 celdas rectificadas en una proporción de 1: 1.

Estructura

Las celdas de la figura del vértice son diez tetraedros y 20 prismas triangulares , correspondientes a las diez 5 celdas y las 20 5 celdas rectificadas que se encuentran en cada vértice. Todos los vértices se encuentran en reinos paralelos en los que forman panales cúbicos alternos , siendo los tetraedros las partes superiores de las 5 celdas rectificadas o las bases de las 5 celdas, y los octaedros las partes inferiores de las 5 celdas rectificadas. ^[1]

Nombres Alternativos

• Tetracomb ciclopentacórico
• Tetracomb pentacorico-dispentacorico

Proyección por plegado

El panal de 5 celdas se puede proyectar en el mosaico cuadrado bidimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :

${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$

Celosía A4

La disposición del vértice del panal de 5 celdas se llama celosía A4 , o celosía 4-simplex . Los 20 vértices de su figura de vértice , las 5 celdas runcinadas, representan las 20 raíces del grupo Coxeter. ^{[2] [3]} Es el caso de 4 dimensiones de un panal simplectico .${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

La A^*
₄celosía ^[4] es la unión de cinco celosías A ₄ , y es el dual del panal omnitruncado 5-simplex , y por lo tanto la celda Voronoi de esta celosía es una celda 5 omnitruncada

∪ ∪ ∪ ∪ = dual de

Politopos y panales relacionados

Las partes superiores de las 5 celdas en este panal se unen a las bases de las 5 celdas, y viceversa, en láminas (o capas) adyacentes ; pero las láminas alternas se pueden invertir de modo que las partes superiores de las 5 celdas rectificadas se unan a las partes superiores de las 5 celdas rectificadas y las bases de las 5 celdas se unan a las bases de otras 5 celdas. Esta inversión da como resultado otro panal convexo uniforme no Wythoffiano. También se pueden insertar prismas octaédricos y prismas tetraédricos entre láminas alternas, lo que da como resultado dos panales uniformes alargados no Wythoffianos más. ^[5]

Este panal es uno de los siete panales uniformes únicos ^[6] construidos por el grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin : ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

Panales A4
Simetría del Pentágono	Simetría extendida	Diagrama extendido	Grupo extendido	Diagramas de panal
a1	[3 [5] ]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	(Ninguno)
i2	[[3 [5] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2	1 , 2 , 3 ,  4 , 5 , 6
r10	[5 [3 [5] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 10	7

Nido de abeja rectificado de 5 celdas

Nido de abeja rectificado de 5 celdas
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Símbolo de Schläfli	t 0,2 {3 [5] } o r {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	t 1 {3 3 } t 0,2 {3 3 } t 0,3 {3 3 }
Tipos de celdas	Tetraedro Octaedro Cuboctaedro Prisma triangular
Figura de vértice	prisma triangular alargado-antipismático
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

El panal rectificado 4-simplex o el panal rectificado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio .

Nombres Alternativos

• pequeño tetracomb pentachórico ciclorhombado
• pequeño tetracomb prismatodispentachoric

Nido de abeja ciclotruncado de 5 celdas

Nido de abeja ciclotruncado de 5 celdas
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Familia	Panal simplectico truncado
Símbolo de Schläfli	t 0,1 {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	{3,3,3} t {3,3,3} 2t {3,3,3}
Tipos de celdas	{3,3} t {3,3}
Tipos de rostro	Triángulo {3} Hexágono {6}
Figura de vértice	Antiprisma tetraédrico alargado [3,4,2 + ], orden 48
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

El panal ciclotruncado 4-simplex o el panal ciclotruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se puede ver como un panal de 5 celdas birectificado .

Se compone de 5 células , truncado 5 células , y bitruncated 5-células facetas en una proporción de 2: 2: 1. Su figura de vértice es un antiprisma tetraédrico alargado , con 8 triángulos equiláteros y 24 caras de triángulos isósceles , que definen 8 facetas de 5 celdas y 24 facetas truncadas de 5 celdas alrededor de un vértice.

Puede construirse como cinco conjuntos de hiperplanos paralelos que dividen el espacio en dos medios espacios. Los hiperplanos de 3 espacios contienen panales de un cuarto de cúbico como facetas de colección. ^[7]

Nombres Alternativos

• Tetracomb pentacorico ciclotruncado
• Pequeño tetracomb truncado-pentacorico

Nido de abeja truncado de 5 celdas

Nido de abeja truncado 4-simplex
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Símbolo de Schläfli	t 0,1,2 {3 [5] } o t {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	t 0,1 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,3 {3 3 }
Tipos de celdas	Tetraedro Tetraedro truncado Octaedro truncado Prisma triangular
Figura de vértice	pirámide triangular alargada-antipismática
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

El panal de abeja truncado de 4 simples o el panal de abeja truncado de 5 celdas es un panal de mosaico de mosaico que llena el espacio . También se le puede llamar panal de 5 celdas ciclocantitruncado .

Nombres alternativos

• Gran tetracomb pentacorico ciclorhombado
• Gran tetracomb truncado-pentacorico

Nido de abeja cantelado de 5 celdas

Nido de abeja cantelado de 5 celdas
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Símbolo de Schläfli	t 0,1,3 {3 [5] } o rr {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	t 0,2 {3 3 } t 1,2 {3 3 } t 0,1,3 {3 3 }
Tipos de celdas	Tetraedro truncado Octaedro Cuboctaedro Prisma triangular Prisma hexagonal
Figura de vértice	antifastigium triangular-prismático
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

El panal cantelado 4-simplex o el panal cantelado de 5 celdas es un panal teselado que llena el espacio . También se le puede llamar un panal de 5 celdas cicloruncitruncado .

Nombres Alternativos

• Cicloprismator tetracomb pentacorico hombado
• Gran tetracomb prismatodispentachoric

Nido de abeja bitruncado de 5 celdas

Nido de abeja bitruncado de 5 celdas
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Símbolo de Schläfli	t 0,1,2,3 {3 [5] } o 2t {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	t 0,1,3 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,1,2,3 {3 3 }
Tipos de celdas	Cuboctaedro Octaedro truncado Tetraedro truncado Prisma hexagonal Prisma triangular
Figura de vértice	Duopirámide rectangular inclinada
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 2, {3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo

El panal bitruncado 4-simplex o el panal bitruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se le puede llamar un panal de 5 celdas cicloruncicantitruncado .

Nombres Alternativos

• Gran tetracomb pentacorico cicloprismatizado
• Grand prismatodispentachoric tetracomb

Nido de abeja omnitruncado de 5 celdas

Nido de abeja omnitruncado 4-simplex
(Sin imágen)
Escribe	Uniforme de 4 panales
Familia	Panal simplectico omnitruncado
Símbolo de Schläfli	t 0,1,2,3,4 {3 [5] } o tr {3 [5] }
Diagrama de Coxeter
Tipos de 4 caras	t 0,1,2,3 {3,3,3}
Tipos de celdas	t 0,1,2 {3,3} {6} x {}
Tipos de rostro	{4} {6}
Figura de vértice	Irr. 5 celdas
Simetría	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$× 10, [5 [3 [5] }
Propiedades	vértice-transitivo , célula-transitivo

El panal de abeja omnitruncado de 4 simples o el panal de abeja omnitruncado de 5 celdas es un panal de mosaico en mosaico que llena el espacio . También se puede ver como un panal de 5 celdas cantitruncado y también como un panal de 5 celdas antitruncado cyclosteriruncicant . .

Está compuesto en su totalidad por facetas omnitruncadas de 5 celdas (omnitruncadas de 4 simplex).

Coxeter llama a esto el panal de Hinton en honor a CH Hinton , quien lo describió en su libro The Fourth Dimension en 1906. ^[8]

Las facetas de todos los panales simplecticos omnitruncados se denominan permutoedros y se pueden colocar en un espacio n + 1 con coordenadas integrales, permutaciones de los números enteros (0,1, .., n).

Nombres Alternativos

• Tetracomb ciclopentacorico omnitruncado
• Tetracomb gran prismatodecachoric

Una celosía de ₄ ^*

La A^*
₄la celosía es la unión de cinco celosías A ₄ , y es el dual del panal omnitruncado 5-simplex , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta celosía es una celda 5 omnitruncada . ^[9]

∪ ∪ ∪ ∪ = dual de

Forma alterna

Este panal se puede alternar , creando omnisnub 5 celdas con 5 celdas irregulares creadas en los vértices eliminados. Aunque no es uniforme, las 5 celdas tienen una simetría de orden 10.

Ver también

Panales regulares y uniformes en 4 espacios:

• Nido de abeja tesseractic
• Panal de 16 celdas
• Panal de 24 celdas
• Nido de abeja truncado de 24 celdas
• Nido de abeja de 24 celdas Snub

Notas

1. Olshevsky (2006), Modelo 134
2. http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A4.html
3. https://m.wolframalpha.com/input/?i=A4+root+lattice&lk=3
4. http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/As4.html
5. Olshevsky (2006), Klitzing, elong (x3o3o3o3o3 * a) - ecypit - O141, schmo (x3o3o3o3o3 * a) - zucypit - O142, elongschmo (x3o3o3o3o3 * a) - ezucypit - O143
6. mathworld: collar , secuencia OEIS A000029 8-1 casos, omitiendo uno con cero marcas
7. Olshevsky, (2006) Modelo 135
8. La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678 . (La clasificación de Zonohededra, página 73)
9. El enrejado A4 *

Referencias

• Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas) Modelo 134
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D" ., x3o3o3o3o3 * a - cypit - O134, x3x3x3x3x3 * a - otcypit - 135, x3x3x3o3o3 * a - gocyropit - O137, x3x3o3x3o3 * a - cypropit - Opitit - Opit8, x3x3x3x3x3 * a3x - gocyropit - 140
• Grupo Coxeter afín Wa (A4), cuaterniones y cuasicristales decagonales, Mehmet Koca, Nazife O. Koca, Ramazan Koc (2013) arXiv : 1209.1878

v t mi Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2-9
Espacio	Familia	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Azulejos uniformes	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nido de abeja convexo uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme de 4 panales	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	Panal de 24 celdas
E 5	Uniforme de 5 panales	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme de 6 panales	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme de 7 panales	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme de 8 panal	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme de 9 panales	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniforme de 10 panal	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniforme ( n -1) - panal	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21