5 celdas rectificadas | ||
Diagrama de Schlegel con las 5 celdas tetraédricas que se muestran. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 1 {3,3,3} o r {3,3,3} {3 2,1 } = | |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ||
Células | 10 | 5 {3,3} 5 3.3.3.3 |
Caras | 30 {3} | |
Bordes | 30 | |
Vértices | 10 | |
Figura de vértice | Prisma triangular | |
Grupo de simetría | A 4 , [3,3,3], orden 120 | |
Polígono de Petrie | Pentágono | |
Propiedades | convexo , isogonal , isotoxal | |
Índice uniforme | 1 2 3 |
En la geometría de cuatro dimensiones , el rectificado de 5 celdas es un 4-politopo uniforme compuesto por 5 celdas tetraédricas regulares y 5 octaédricas regulares . Cada borde tiene un tetraedro y dos octaedros. Cada vértice tiene dos tetraedros y tres octaedros. En total tiene 30 caras de triángulos, 30 aristas y 10 vértices. Cada vértice está rodeado por 3 octaedros y 2 tetraedros; la figura del vértice es un prisma triangular .
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [3, 3, 3], hay solo una forma geométrica, que contiene 5 tetraedros regulares y 5 tetraedros rectificados (que es geométricamente lo mismo que un octaedro regular). También es topológicamente idéntico a un segmentochoron tetraedro-octaedro. [ aclaración necesaria ]
La figura del vértice de las 5 celdas rectificadas es un prisma triangular uniforme , formado por tres octaedros alrededor de los lados y dos tetraedros en los extremos opuestos. [1]
A pesar de tener el mismo número de vértices que las celdas (10) y el mismo número de aristas que las caras (30), la 5 celda rectificada no es auto-dual porque la figura del vértice (un prisma triangular uniforme) no es un dual del Células de policlorona.
Construcción Wythoff
Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [2]
A 4 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | k -figura | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 2 A 1 | () | f 0 | 10 | 6 | 3 | 6 | 3 | 2 | {3} x {} | A 4 / A 2 A 1 = 5! / 3! / 2 = 10 | |
A 1 A 1 | {} | f 1 | 2 | 30 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} v () | A 4 / A 1 A 1 = 5! / 2/2 = 30 | |
A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 10 | * | 2 | 0 | {} | A 4 / A 2 A 1 = 5! / 3! / 2 = 10 | |
A 2 | 3 | 3 | * | 20 | 1 | 1 | A 4 / A 2 = 5! / 3! = 20 | ||||
A 3 | r {3,3} | f 3 | 6 | 12 | 4 | 4 | 5 | * | () | A 4 / A 3 = 5! / 4! = 5 | |
A 3 | {3,3} | 4 | 6 | 0 | 4 | * | 5 |
Estructura
Junto con el simplex y el de 24 celdas , esta forma y su dual (un politopo con diez vértices y diez facetas bipirámides triangulares ) fue uno de los primeros 4 politopos 2 simples 2 simpliciales conocidos. Esto significa que todas sus caras bidimensionales y todas las caras bidimensionales de su dual son triángulos. En 1997, Tom Braden encontró otro par dual de ejemplos, pegando dos celdas de 5 rectificadas juntas; desde entonces, se han construido infinitos politopos 2-simples 2-simpliciales. [3] [4]
Politopo semirregular
Es uno de los tres 4-politopos semirregulares hechos de dos o más células que son sólidos platónicos , descubierto por Thorold Gosset en su artículo de 1900. Lo llamó tetroctaédrico por estar hecho de células tetraedro y octaedro . [5]
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como tC 5 .
Nombres Alternativos
- Tetroctaédrico (Thorold Gosset)
- Dispentachoron
- 5 celdas rectificadas ( Norman W. Johnson )
- 4-simplex rectificado
- 4-simplex completamente truncado
- Pentachoron rectificado (Acrónimo: rap) (Jonathan Bowers)
- Ambopentachoron (Neil Sloane y John Horton Conway )
- (5,2) - hipersimplex (el casco convexo de vectores de cinco dimensiones (0,1) con exactamente dos)
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
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Grafico | |||
Simetría diedro | [5] | [4] | [3] |
proyección estereográfica (centrada en octaedro ) | Red (politopo) |
Proyección en perspectiva centrada en el tetraedro en el espacio 3D, con el tetraedro más cercano al punto de vista 4D en rojo y los 4 octaedros circundantes en verde. Las células que se encuentran en el lado más alejado del politopo se han seleccionado para mayor claridad (aunque se pueden distinguir por los contornos de los bordes). La rotación es solo de la imagen de proyección 3D, para mostrar su estructura, no una rotación en el espacio 4D. |
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda de 5 rectificada centrada en el origen que tiene una longitud de borde 2 son:
Coordenadas | |
---|---|
Más simplemente, los vértices de las 5 celdas rectificadas se pueden colocar en un hiperplano en el espacio 5 como permutaciones de (0,0,0,1,1) o (0,0,1,1,1). Estas construcciones pueden verse como facetas positivas o negativas de la pentacruza rectificada o penteracta birectificada, respectivamente.
4 politopos relacionados
La 5-celda rectificada es la figura del vértice del 5-demicubo , y la figura del borde del politopo uniforme 2 21 .
Compuesto de 5 celdas rectificadas y su doble
El casco convexo, el rectificado de 5 celdas y su dual (del mismo radio largo) es un policorón no uniforme compuesto por 30 celdas: 10 tetraedros , 20 octaedros (como antiprismas triangulares) y 20 vértices. Su figura de vértice es un bifrustum triangular .
Politopos de pentacoron
El rectificado de 5 celdas es uno de los 9 uniformes 4-politopos construidos a partir del grupo [3,3,3] Coxeter .
Nombre | 5 celdas | truncado de 5 celdas | rectificado de 5 celdas | 5 celdas canteladas | bitruncado de 5 celdas | 5 celdas cantitruncadas | runcinated de 5 celdas | runcitruncado de 5 celdas | omnitruncado de 5 celdas |
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Símbolo de Schläfli | {3,3,3} 3r {3,3,3} | t {3,3,3} 2t {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2t {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | t 0,3 {3,3,3} | t 0,1,3 {3,3,3} t 0,2,3 {3,3,3} | t 0,1,2,3 {3,3,3} |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Diagrama de Schlegel | |||||||||
Un gráfico de 4 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 3 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 2 planos de Coxeter |
Politopos semirregulares
El rectificado de 5 celdas es el segundo en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye como la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como que contenía todas las facetas politopicas regulares , conteniendo todos los simplex y ortoplexos ( tetraedros y octaedros en el caso de las 5 celdas rectificadas). El símbolo de Coxeter para las 5 celdas rectificadas es 0 21 .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
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Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Politopos isotópicos
Oscuro. | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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Nombre Coxeter | Hexágono = t {3} = {6} | Octaedro = r {3,3} = {3 1,1 } = {3,4} | Decachoron 2t {3 3 } | Dodecateron 2r {3 4 } = {3 2,2 } | Tetradecapeton 3t {3 5 } | Hexadecaexón 3r {3 6 } = {3 3,3 } | Octadecazetton 4t {3 7 } |
Imagenes | |||||||
Figura de vértice | () v () | {} × {} | {} v {} | {3} × {3} | {3} v {3} | {3,3} x {3,3} | {3,3} v {3,3} |
Facetas | {3} | t {3,3} | r {3,3,3} | 2t {3,3,3,3} | 2r {3,3,3,3,3} | 3t {3,3,3,3,3,3} | |
Como intersección de doble simplex | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ |
Notas
- ^ Conway, 2008
- ^ Klitzing, Richard. "o3x4o3o - rap" .
- ^ Eppstein, David ; Kuperberg, Greg ; Ziegler, Günter M. (2003), "Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres", en Bezdek, Andras (ed.), Discrete Geometry: En honor al 60 cumpleaños de W. Kuperberg , Pure and Applied Mathematics, 253 , págs. . 239–265, arXiv : math.CO/0204007.
- ^ Paffenholz, Andreas; Ziegler, Günter M. (2004), "La E t -construcción para celosías, esferas y politopos", Geometría discreta y computacional , 32 (4): 601–621, arXiv : math.MG/0304492 , doi : 10.1007 / s00454 -004-1140-4 , MR 2.096.750 , S2CID 7603863.
- ↑ Gosset, 1900
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- JH Conway y MJT Guy : Politopos de Arquímedes en cuatro dimensiones , Actas del coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
enlaces externos
- 5 celdas rectificadas : datos e imágenes
- 1. Policora uniforme convexa basada en el pentacoron - Modelo 2 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o3o - rap" .
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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