Azulejos triangulares | Nido de abeja tetraédrico-octaédrico |
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Con triángulos equiláteros rojos y amarillos | Con tetraedros cian y amarillo , y tetraedros rectificados rojos ( octaedros ) |
En geometría , el panal simplectico (o panal n-simplex ) es una serie infinita dimensional de panales , basada en elafín a la simetría del grupo Coxeter . Se le da un símbolo de Schläfli {3 [n + 1] }, y se representa mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin como un gráfico cíclico de n + 1 nodos con un nodo anillado. Se compone de n- simplex facetas, junto con todos los n-simplices rectificados . Se puede considerar como un panal hipercúbico n-dimensional que se ha subdividido a lo largo de todos los hiperplanos., luego se estira a lo largo de su diagonal principal hasta que los simples en los extremos de los hipercubos se vuelven regulares. La figura de la cima de un panal n-simplex es un expandido n- simplex .
En 2 dimensiones, el panal representa el mosaico triangular , con gráfico de Coxeterllenando el avión con triángulos de colores alternativos. En 3 dimensiones representa el panal tetraédrico-octaédrico , con gráfico de Coxeterrelleno del espacio con celdas alternativamente tetraédricas y octaédricas. En 4 dimensiones se llama panal de 5 celdas , con gráfico de Coxeter, con facetas de 5 celdas y 5 celdas rectificadas . En 5 dimensiones se llama panal de 5 simplesx , con gráfico de Coxeter, Llenando el espacio por 5-simplex , rectificado 5-simplex , y birectified 5-simplex facetas. En 6 dimensiones se llama panal 6 simplex , con gráfico de Coxeter, Llenando el espacio por 6-simplex , rectificado 6-simplex , y birectified 6-simplex facetas.
Por dimensión
norte | Mosaico | Figura de vértice | Facetas por figura de vértice | Vértices por figura de vértice | Figura de borde | |
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1 | Apeirogon | 1 | 2 | - | ||
2 | Azulejo triangular nido de abeja 2 simplex | Hexágono (triángulo truncado) | 3 + 3 triángulos | 6 | Segmento de línea | |
3 | Nido de abeja tetraédrico-octaédrico nido de abeja 3-simplex | Cuboctaedro (tetraedro cantelado) | 4 + 4 tetraedro 6 tetraedros rectificados | 12 | Rectángulo | |
4 | Nido de abeja 4-simplex | 5 celdas runcinadas | 5 + 5 5 celdas 10 + 10 5 celdas rectificadas | 20 | Antiprisma triangular | |
5 | Nido de abeja 5-simplex | Estericado 5-simplex | 6 + 6 5-simplex 15 + 15 rectificado 5-simplex 20 birectificado 5-simplex | 30 | Antiprisma tetraédrico | |
6 | Nido de abeja 6 simplex | Pentelado 6-simplex | 7 + 7 6-simplex 21 + 21 rectificado 6-simplex 35 + 35 birectificado 6-simplex | 42 | Antiprisma 4-simplex | |
7 | Nido de abeja 7-simplex | 7-simplex embriagado | 8 + 8 7-simplex 28 + 28 rectificado 7-simplex 56 + 56 birectificado 7-simplex 70 trirectificado 7-simplex | 56 | Antiprisma 5-simplex | |
8 | Nido de abeja 8-simplex | 8 simplex heptelado | 9 + 9 8-simplex 36 + 36 rectificado 8-simplex 84 + 84 birectificado 8-simplex 126 + 126 trirectificado 8-simplex | 72 | Antiprisma 6-simplex | |
9 | Nido de abeja 9-simplex | 9-simplex octelado | 10 + 10 9-simplex 45 + 45 rectificado 9-simplex 120 + 120 birectificado 9-simplex 210 + 210 trirectificado 9-simplex 252 cuadrirectificado 9-simplex | 90 | Antiprisma 7-simplex | |
10 | Nido de abeja 10-simplex | Ennecado 10-simplex | 11 + 11 10-simplex 55 + 55 rectificado 10-simplex 165 + 165 birectificado 10-simplex 330 + 330 trirectificado 10-simplex 462 + 462 cuadrirectificado 10-simplex | 110 | Antiprisma 8-simplex | |
11 | Nido de abeja 11-simplex | ... | ... | ... | ... |
Proyección por plegado
Los panales (2n-1) -simplex y los panales 2n-simplex se pueden proyectar en el panal hipercúbico n-dimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :
... | ||||||||||
... | ||||||||||
... |
Número de besos
Estos panales, vistos como n-esferas tangentes ubicadas en el centro de cada vértice del panal, tienen un número fijo de esferas en contacto y corresponden al número de vértices en la figura del vértice . Para 2 y 3 dimensiones, esto representa el número de besos más alto para 2 y 3 dimensiones, pero se queda corto en dimensiones más altas. En 2 dimensiones, el mosaico triangular define un empaquetamiento circular de 6 esferas tangentes dispuestas en un hexágono regular, y para 3 dimensiones hay 12 esferas tangentes dispuestas en una configuración cuboctaédrica . Para 4 a 8 dimensiones, los números de besos son 20 , 30 , 42 , 56 y 72 esferas, mientras que las mejores soluciones son 24, 40, 72, 126 y 240 esferas respectivamente.
Ver también
- Panal hipercúbico
- Panal hipercúbico alternado
- Cuarto de nido de abeja hipercúbico
- Panal simplectico truncado
- Panal simplectico omnitruncado
Referencias
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
- Branko Grünbaum , Azulejos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4 (1994), 49 - 56.
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |