En geometría , un panal es un relleno de espacio o un empaque cerrado de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones. Su dimensión se puede aclarar como n -panal de miel para un panal de n -espacio dimensional.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"). También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Clasificación
Hay una infinidad de panales, que solo se han clasificado parcialmente. Los más regulares han atraído el mayor interés, mientras que se sigue descubriendo un surtido rico y variado de otros.
Los panales más simples de construir se forman a partir de capas apiladas o losas de prismas basados en algunas teselaciones del plano. En particular, para cada paralelepípedo , las copias pueden llenar el espacio, siendo el panal cúbico especial porque es el único panal regular en el espacio ordinario (euclidiano). Otra familia interesante son los tetraedros de la colina y sus generalizaciones, que también pueden enlosar el espacio.
Uniforme de 3 panales
Un panal uniforme tridimensional es un panal en 3 espacios compuesto por celdas poliédricas uniformes , y que tiene todos los vértices iguales (es decir, el grupo de [isometrías de 3 espacios que preservan el mosaico] es transitivo en los vértices ). Hay 28 ejemplos convexos en el espacio tridimensional euclidiano, [1] también llamados panales de Arquímedes .
Un panal se llama regular si el grupo de isometrías que preservan el mosaico actúa de manera transitiva sobre las banderas, donde una bandera es un vértice que se encuentra en un borde que se encuentra en una cara que se encuentra en una celda. Cada panal normal es automáticamente uniforme. Sin embargo, solo hay un panal regular en el espacio euclidiano de 3, el panal cúbico . Dos son cuasirregulares (hechos de dos tipos de células regulares):
Tipo | Panal cúbico regular | Panales cuasirregulares |
---|---|---|
Células | Cúbico | Octaedros y tetraedros |
Capa de losa |
El panal tetraédrico-octaédrico y los panales tetraédricos-octaédricos girados se generan mediante 3 o 2 posiciones de capa de celdas en forma de placa, cada una de las cuales alterna tetraedros y octaedros. Se puede crear un número infinito de panales únicos mediante un orden superior de patrones de repetición de estas capas de losas.
Poliedros que llenan el espacio
Se dice que un panal que tiene todas las células idénticas dentro de sus simetrías es transitivo o isocórico . En el espacio euclidiano tridimensional, se dice que una celda de tal panal es un poliedro que llena el espacio . [2] Una condición necesaria para que un poliedro sea un poliedro que llena el espacio es que su invariante Dehn debe ser cero, [3] [4] descartando cualquier sólido platónico que no sea el cubo.
Cinco poliedros que llenan el espacio pueden teselar el espacio euclidiano tridimensional utilizando solo traslaciones. Se llaman paralelosedros :
- Nido de abeja cúbico (o variaciones: cuboide , hexaedro rómbico o paralelepípedo )
- Nido de abeja prismático hexagonal [5]
- Panal rombododecaédrico
- Panal dodecaédrico alargado [6]
- Nido de abeja cúbico bitruncado o octaedros truncados [7]
panal cúbico | Nido de abeja prismático hexagonal | Dodecaedro rómbico | Dodecaedro alargado | Octaedro truncado |
Cubo (paralelepípedo) | Prisma hexagonal | Dodecaedro rómbico | Dodecaedro alargado | Octaedro truncado |
---|---|---|---|---|
3 longitudes de borde | 3 + 1 longitudes de borde | 4 longitudes de borde | 4 + 1 longitudes de borde | 6 longitudes de borde |
Otros ejemplos conocidos de poliedros que llenan el espacio incluyen:
- El panal prismático triangular
- El panal prismático triangular girado
- El triakis truncado en forma de panal tetraédrico . Las células de Voronoi de los átomos de carbono en el diamante tienen esta forma. [8]
- El panal dodecaédrico trapezo-rómbico [9]
- Isohedral embaldosados [10]
Otros panales con dos o más poliedros
A veces, se pueden combinar dos [11] o más poliedros diferentes para llenar el espacio. Además de muchos de los panales uniformes, otro ejemplo bien conocido es la estructura de Weaire-Phelan , adoptada de la estructura de los cristales de hidrato de clatrato [12]
Estructura de Weaire-Phelan (con dos tipos de células)
3 panales no convexos
Los ejemplos documentados son raros. Se pueden distinguir dos clases:
- Celdas no convexas que se empaquetan sin superponerse, análogas a los mosaicos de polígonos cóncavos. Estos incluyen un empaque del pequeño dodecaedro rombo estrellado , como en el Cubo de Yoshimoto .
- Superposición de células cuyas densidades positivas y negativas se "cancelan" para formar un continuo uniformemente denso, análogo a las teselaciones superpuestas del plano.
Panales hiperbólicos
En el espacio hiperbólico tridimensional , el ángulo diedro de un poliedro depende de su tamaño. Los panales hiperbólicos regulares incluyen dos con cuatro o cinco dodecaedros que se encuentran en cada borde; sus ángulos diedros son por tanto π / 2 y 2π / 5, ambos menores que los de un dodecaedro euclidiano. Aparte de este efecto, los panales hiperbólicos obedecen a las mismas limitaciones topológicas que los panales euclidianos y la policora.
Se han enumerado los 4 panales hiperbólicos regulares compactos y 11 paracompactos y muchos panales hiperbólicos uniformes compactos y paracompactos .
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
11 panales regulares paracompactos | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
Dualidad de 3 panales
Por cada panal hay un panal doble, que se puede obtener intercambiando:
- celdas para vértices.
- caras para aristas.
Estas son solo las reglas para la dualización de 4 politopos tetradimensionales , excepto que el método finito habitual de reciprocidad sobre una hiperesfera concéntrica puede tener problemas.
Los panales más regulares se dualizan perfectamente:
- El panal cúbico es auto-dual.
- La de octaedros y tetraedros es dual a la de dodecaedros rómbicos.
- Los panales de losa derivados de mosaicos planos uniformes son duales entre sí de la misma manera que los mosaicos.
- Los duales de los restantes panales de Arquímedes son todos transitivos de células y han sido descritos por Inchbald. [13]
Panales auto-duales
Los panales también pueden ser auto-duales . Todos los panales hipercúbicos n- dimensionales con símbolos de Schläfli {4,3 n −2 , 4}, son auto-duales.
Ver también
- Lista de mosaicos uniformes
- Panales regulares
- Poliedro de sesgo infinito
- Plesioedro
Referencias
- ^ Grünbaum (1994). "Azulejos uniformes de 3 espacios". Geombinatoria 4 (2)
- ^ Weisstein, Eric W. "Poliedro que llena el espacio" . MathWorld .
- ^ Debrunner, Hans E. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (en alemán), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007 / BF01235384 , MR 0604258.
- ^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Politopos que llenany congruencia de tijeras ", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007 / BF02574064 , MR 1318797.
- ^ [1] Relleno de espacios uniforme mediante prismas triangulares, cuadrados y hexagonales
- ^ [2] Relleno de espacios uniforme usando solo dodecaedros rombo-hexagonales
- ^ [3] Relleno de espacios uniforme utilizando solo octaedros truncados
- ^ John Conway (22 de diciembre de 2003). "Poliedro de Voronoi. Rompecabezas de geometría" . Grupo de noticias : geometry.puzzles . Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU .
- ^ X. Qian, D. Strahs y T. Schlick, J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)
- ^ [4] O. Delgado-Friedrichs y M. O'Keeffe. Mosaicos isoédricos simples: binodales y por mosaicos con <16 caras. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
- ^ [5] Archivado el 30 de junio de 2015 en la Wayback Machine Gabbrielli, Ruggero. Un poliedro de trece lados que llena el espacio con su copia quiral.
- ^ Pauling, Linus. La naturaleza del enlace químico. Prensa de la Universidad de Cornell, 1960
- ^ Inchbald, Guy (julio de 1997), "The Archimedean honeycomb duals" , The Mathematical Gazette , 81 (491): 213-219, doi : 10.2307 / 3619198 , JSTOR 3619198.
Otras lecturas
- Coxeter, HSM : Politopos regulares .
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Dover Publications, Inc. págs. 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado de espacios
- Critchlow, K .: Orden en el espacio .
- Pearce, P .: La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño .
- Goldberg, Michael Tres familias infinitas de rellenos espaciales tetraédricos Revista de teoría combinatoria A, 16, págs. 348–354, 1974.
- Goldberg, Michael (1972). "El pentaedro que llena el espacio" . Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 13 (3): 437–443. doi : 10.1016 / 0097-3165 (72) 90077-5 .
- Goldberg, Michael The Space-fill Pentahedra II , Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375-378.
- Goldberg, Michael (1977). "Sobre el hexaedro que llena el espacio". Geometriae Dedicata . 6 . doi : 10.1007 / BF00181585 .
- Goldberg, Michael (1978). "En el heptaedro que llena el espacio". Geometriae Dedicata . 7 (2): 175-184. doi : 10.1007 / BF00181630 .
- Goldberg, Michael Rellenos espaciales poliédricos convexos de más de doce caras. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
- Goldberg, Michael (1981). "En el octaedro que llena el espacio" . Geometriae Dedicata . 10 (1–4): 323–335. doi : 10.1007 / BF01447431 .
- Goldberg, Michael (1982). "En el Decahedra que llena el espacio" . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Goldberg, Michael (1982). "Sobre el enneahedra que llena el espacio". Geometriae Dedicata . 12 (3). doi : 10.1007 / BF00147314 .
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Panal" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Cinco poliedros que llenan el espacio , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , noviembre de 1996, págs. 466-475.
- Raumfueller (poliedros de relleno de espacio) por TE Dorozinski
- Weisstein, Eric W. "Poliedro que llena el espacio" . MathWorld .
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |