En matemáticas , el teorema de Abel para series de potencias relaciona un límite de una serie de potencias con la suma de sus coeficientes . Lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel .
Teorema
Dejar
ser una serie de potencias con coeficientes reales a k con radio de convergencia 1. Suponga que la serie
converge. Entonces G ( x ) es continuo desde la izquierda en, es decir
El mismo teorema es válido para series de potencias complejas.
siempre que dentro de un sector Stolz , es decir, una región del disco unitario abierto donde
por alguna M . Sin esta restricción, el límite puede no existir: por ejemplo, la serie de potencias
converge a 0 en z = 1, pero no está acotado cerca de cualquier punto de la forma e π i / 3 n , por lo que el valor en z = 1 no es el límite ya que z tiende a 1 en todo el disco abierto.
Tenga en cuenta que G ( z ) es continua en el intervalo cerrado real [0, t ] para t <1, en virtud de la convergencia uniforme de la serie en subconjuntos compactos del disco de convergencia. El teorema de Abel nos permite decir más, a saber, que G ( z ) es continua en [0, 1].
Observaciones
Como consecuencia inmediata de este teorema, si z es cualquier número complejo distinto de cero para el cual la serie
converge, entonces se sigue que
en el que el límite se toma desde abajo .
El teorema también se puede generalizar para dar cuenta de sumas que divergen hasta el infinito. [ cita requerida ] Si
luego
Sin embargo, si solo se sabe que la serie es divergente, pero por razones distintas a la divergencia hasta el infinito, entonces la afirmación del teorema puede fallar: tome, por ejemplo, la serie de potencias para
A la serie es igual a pero
También observamos que el teorema es válido para radios de convergencia distintos de : dejar
ser una serie de potencias con radio de convergencia , y suponga que la serie converge en . Luego es continuo desde la izquierda en , es decir
Aplicaciones
La utilidad del teorema de Abel es que nos permite encontrar el límite de una serie de potencias como argumento (es decir, ) se aproxima a 1 desde abajo, incluso en los casos en que el radio de convergencia ,, de la serie de potencias es igual a 1 y no podemos estar seguros de si el límite debe ser finito o no. Véase, por ejemplo, la serie binomial . El teorema de Abel nos permite evaluar muchas series en forma cerrada. Por ejemplo, cuando
obtenemos
integrando la serie de potencia geométrica uniformemente convergente término por término en ; así la serie
converge a por el teorema de Abel. Similar,
converge a
se llama función generadora de la secuencia. El teorema de Abel es frecuentemente útil para tratar con funciones generadoras de secuencias de valores reales y no negativas , como funciones generadoras de probabilidad . En particular, es útil en la teoría de los procesos de Galton-Watson .
Esquema de la prueba
Después de restar una constante de , podemos asumir que . Dejar. Luego sustituyendoy realizar una simple manipulación de la serie ( suma por partes ) da como resultado
Dado Elija n lo suficientemente grande para que para todos y nota que
cuando z se encuentra dentro del ángulo de Stolz dado. Siempre que z esté lo suficientemente cerca de 1 tenemos
así que eso cuando z está lo suficientemente cerca de 1 y dentro del ángulo de Stolz.
Conceptos relacionados
Las conversiones a un teorema como el de Abel se denominan teoremas de Tauber : no hay una recíproca exacta, pero los resultados están condicionados a alguna hipótesis. El campo de las series divergentes y sus métodos de suma contiene muchos teoremas de tipo abeliano y de tipo tauberiano .
Ver también
Otras lecturas
- Ahlfors, Lars Valerian (1 de septiembre de 1980). Análisis complejo (tercera ed.). Educación superior de McGraw Hill. págs. 41–42. ISBN 0-07-085008-9.- Ahlfors lo llamó el teorema del límite de Abel .
enlaces externos
- Abel sumabilidad en PlanetMath . (una mirada más general a los teoremas abelianos de este tipo)
- AA Zakharov (2001) [1994], "Método de suma de Abel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Teorema de convergencia de Abel" . MathWorld .