En matemáticas , la fórmula de suma de Abel , introducida por Niels Henrik Abel , se utiliza intensamente en la teoría de números y el estudio de funciones especiales para calcular series .
Dejar ser una secuencia de números reales o complejos . Definir la función de suma parcial por
para cualquier número real . Fijar números reales, y deja ser una función continuamente diferenciable en. Luego:
La fórmula se obtiene aplicando la integración por partes para una integral de Riemann-Stieltjes a las funciones y .
Variaciones
Tomando el extremo izquierdo como da la fórmula
Si la secuencia está indexado a partir de , entonces podemos definir formalmente . La fórmula anterior se convierte en
Una forma común de aplicar la fórmula de suma de Abel es tomar el límite de una de estas fórmulas como . Las fórmulas resultantes son
Estas ecuaciones son válidas siempre que ambos límites del lado derecho existan y sean finitos.
Un caso particularmente útil es la secuencia para todos . En este caso,. Para esta secuencia, la fórmula de suma de Abel se simplifica a
Del mismo modo, para la secuencia y para todos , la fórmula se convierte en
Al tomar el límite como , encontramos
asumiendo que ambos términos del lado derecho existen y son finitos.
La fórmula de suma de Abel se puede generalizar al caso donde solo se supone que es continua si la integral se interpreta como una integral de Riemann-Stieltjes :
Tomando al ser la función de suma parcial asociada a alguna secuencia, esto conduce a la fórmula de suma por partes .
Números armónicos
Si por y luego y la fórmula rinde
El lado izquierdo es el número armónico .
Representación de la función zeta de Riemann
Fijar un número complejo . Si por y luego y la fórmula se convierte en
Si , entonces el límite como existe y produce la fórmula
Esto puede usarse para derivar el teorema de Dirichlet de que tiene un polo simple con residuo 1 en s = 1 .
Recíproco de la función zeta de Riemann
La técnica del ejemplo anterior también se puede aplicar a otras series de Dirichlet . Sies la función de Möbius y, luego es la función de Mertens y
Esta fórmula es válida para .