En matemáticas , la suma por partes transforma la suma de productos de secuencias en otras sumas, a menudo simplificando el cálculo o (especialmente) la estimación de ciertos tipos de sumas. También se le llama lema de Abel o transformación de Abel , en honor a Niels Henrik Abel, quien lo introdujo en 1826. [1]
Declaración
Suponer y son dos secuencias . Luego,
Usando el operador de diferencia directa , se puede enunciar de forma más sucinta como
La suma por partes es análoga a la integración por partes :
oa la fórmula de suma de Abel :
Una declaración alternativa es
que es análoga a la fórmula de integración por partes para semimartingales .
Aunque las aplicaciones casi siempre tratan con la convergencia de secuencias, el enunciado es puramente algebraico y funcionará en cualquier campo . También funcionará cuando una secuencia esté en un espacio vectorial y la otra en el campo relevante de escalares.
Serie Newton
La fórmula a veces se da en una de estas formas, ligeramente diferentes
que representan un caso especial) de la regla más general
ambos resultan de la aplicación repetida de la fórmula inicial. Las cantidades auxiliares son series de Newton :
y
Un particular () el resultado es la identidad
Aquí, es el coeficiente binomial .
Método
Para dos secuencias dadas y , con , se quiere estudiar la suma de las siguientes series:
Si definimos entonces para cada y
Finalmente
Este proceso, llamado transformación de Abel, se puede utilizar para probar varios criterios de convergencia para .
Similitud con una integración por partes
La fórmula para una integración por partes es
Además de las condiciones de contorno , notamos que la primera integral contiene dos funciones multiplicadas, una que está integrada en la integral final ( se convierte en ) y uno diferenciado ( se convierte en ).
El proceso de la transformación de Abel es similar, ya que se suma una de las dos secuencias iniciales ( se convierte en ) y el otro es diferenciado ( se convierte en ).
Aplicaciones
- Se usa para probar el lema de Kronecker , que a su vez, se usa para probar una versión de la ley fuerte de los grandes números bajo restricciones de varianza .
- Puede usarse para probar el teorema de Nicomachus de que la suma de las primeras cubos es igual al cuadrado de la suma del primero enteros positivos. [2]
- La suma por partes se usa con frecuencia para probar el teorema de Abel y la prueba de Dirichlet .
- También se puede utilizar esta técnica para probar la prueba de Abel : Sies una serie convergente , yuna secuencia monótona acotada , luego converge.
Prueba de la prueba de Abel. La suma por partes da
donde a es el límite de. Como es convergente, está limitado independientemente de , decir por . Comovaya a cero, así que vaya a los dos primeros términos. El tercer término va a cero según el criterio de Cauchy para. La suma restante está limitada por
por la monotonicidad de , y también va a cero cuando .
- Usando la misma prueba anterior, se puede demostrar que si
- las sumas parciales Forman una secuencia acotada independientemente de ;
- (para que la suma va a cero como va al infinito)
- entonces converge.
En ambos casos, la suma de las series satisface:
Operadores de suma por partes para métodos de diferencias finitas de alto orden
Un operador de diferencia finita de suma por partes (SBP) consiste convencionalmente en un esquema interior de diferencia centrada y plantillas de límites específicas que imitan los comportamientos de la formulación correspondiente de integración por partes. [3] [4] Las condiciones de contorno generalmente se imponen mediante la técnica de Término de Aproximación Simultánea (SAT). [5] La combinación de SBP-SAT es un marco poderoso para el tratamiento de límites. Se prefiere el método para lograr una estabilidad probada para la simulación a largo plazo y un alto orden de precisión.
Ver también
Referencias
- ^ Chu, Wenchang (2007). "Lema de Abel sobre suma por partes y series hipergeométricas básicas" . Avances en Matemática Aplicada . 39 (4): 490–514. doi : 10.1016 / j.aam.2007.02.001 .
- ^ Edmonds, Sheila M. (1957). "Sumas de potencias de los números naturales". La Gaceta Matemática . 41 (337): 187–188. doi : 10.2307 / 3609189 . JSTOR 3609189 . Señor 0096615 .
- ^ Strand, Bo (enero de 1994). "Suma por partes para aproximaciones en diferencias finitas para d / dx". Revista de Física Computacional . 110 (1): 47–67. doi : 10.1006 / jcph.1994.1005 .
- ^ Mattsson, Ken; Nordström, Jan (septiembre de 2004). "Operadores de suma por partes para aproximaciones en diferencias finitas de segundas derivadas". Revista de Física Computacional . 199 (2): 503–540. doi : 10.1016 / j.jcp.2004.03.001 .
- ^ Carpintero, Mark H .; Gottlieb, David; Abarbanel, Saul (abril de 1994). "Condiciones de frontera estables en el tiempo para esquemas de diferencias finitas que resuelven sistemas hiperbólicos: metodología y aplicación a esquemas compactos de orden superior". Revista de Física Computacional . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . doi : 10.1006 / jcph.1994.1057 .
Bibliografía
- Abel, Neils Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reiheusw ". J. Reine Angew. Math. 1 : 311–339.