Localización de una categoría
En matemáticas , la localización de una categoría consiste en agregar a una categoría morfismos inversos para alguna colección de morfismos, restringiéndolos para que se conviertan en isomorfismos . Esto es formalmente similar al proceso de localización de un anillo ; en general hace que los objetos sean isomorfos que antes no lo eran. En la teoría de la homotopía , por ejemplo, hay muchos ejemplos de aplicaciones que son invertibles hasta la homotopía; y tan grandes clases de espacios equivalentes de homotopía [ aclaración necesaria ] . Cálculo de fraccioneses otro nombre para trabajar en una categoría localizada.
Una categoría C consta de objetos y morfismos entre estos objetos. Los morfismos reflejan relaciones entre los objetos. En muchas situaciones, tiene sentido reemplazar C por otra categoría C' en la que ciertos morfismos se ven obligados a ser isomorfismos. Este proceso se llama localización.
Por ejemplo, en la categoría de módulos R ( para algún anillo conmutativo fijo R ), la multiplicación por un elemento fijo r de R normalmente (es decir, a menos que r sea una unidad ) no es un isomorfismo:
La categoría que está más estrechamente relacionada con R -módulos, pero donde este mapa es un isomorfismo resulta ser la categoría de -módulos. Aquí está la localización de R con respecto al subconjunto S (multiplicativamente cerrado) que consta de todas las potencias de r . La expresión "más estrechamente relacionado" se formaliza mediante dos condiciones: primero, hay un funtor
![D[S^{-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8e9aca12e1c82bcb76786e721b503057d121bb)
enviando cualquier módulo R a su localización con respecto a S . Además, dada cualquier categoría C y cualquier funtor
enviando el mapa de multiplicación por r en cualquier módulo R (ver arriba) a un isomorfismo de C , hay un funtor único