En cálculo , la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con absoluta continuidad puede formularse en términos de integración de Lebesgue . Para funciones de valor real en ellínea real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas. Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada Radon-Nikodym , o densidad , de una medida.
Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la línea real:
y, por un intervalo compacto,
Continuidad absoluta de funciones
Una función continua no puede ser absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; los ejemplos son tan ( x ) sobre [0, π / 2) , x 2 sobre todo el real línea, y sin (1 / x ) sobre (0, 1]. Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua incluso en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable en casi todas partes" (como la función de Weierstrass , que es no diferenciable en ninguna parte). O puede ser diferenciable en casi todas partes y su derivada f ′ puede ser integrable de Lebesgue , pero la integral de f ′ difiere del incremento de f (cuánto f cambia en un intervalo). Esto sucede, por ejemplo, con el Función de Cantor .
Definición
Dejar ser un intervalo en la línea real . Una funciónes absolutamente continuo en si por cada numero positivo , hay un número positivo de tal manera que cada vez que una secuencia finita de pairwise disjuntos subintervalos de con satisface [1]
luego
La colección de todas las funciones absolutamente continuas en se denota .
Definiciones equivalentes
Las siguientes condiciones en una función de valor real f en un intervalo compacto [ a , b ] son equivalentes: [2]
- f es absolutamente continuo;
- f tiene una derivada f ′ casi en todas partes , la derivada es integrable de Lebesgue y para todo x en [ a , b ];
- existe una función integrable de Lebesgue g en [ a , b ] tal que para todo x en [ a , b ].
Si se satisfacen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente g = f ′ casi en todas partes.
La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . [3]
Para una definición equivalente en términos de medidas, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .
Propiedades
- La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones se definen en un intervalo cerrado acotado, entonces su producto también es absolutamente continuo. [4]
- Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado acotado y no es cero en ninguna parte, entonces su recíproco es absolutamente continuo. [5]
- Toda función absolutamente continua es uniformemente continua y, por tanto, continua . Cada función continua de Lipschitz es absolutamente continua. [6]
- Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces es de variación acotada en [ a , b ]. [7]
- Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces se puede escribir como la diferencia de dos funciones absolutamente continuas monotónicas no decrecientes en [ a , b ].
- Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces tiene la propiedad Luzin N (es decir, para cualquier tal que , sostiene que , dónde representa la medida de Lebesgue en R ).
- f : I → R es absolutamente continuo si y solo si es continuo, es de variación acotada y tiene la propiedad Luzin N.
Ejemplos de
Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:
- la función de Cantor en [0, 1] (es de variación acotada pero no absolutamente continua);
- la función en un intervalo finito que contiene el origen.
Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no α-Hölder continuas:
- la función f ( x ) = x β en [0, c ], para cualquier 0 < β < α <1
Las siguientes funciones son absolutamente continuas y α-Hölder continuas pero no Lipschitz continuas :
- la función f ( x ) = √ x en [0, c ], para α ≤ 1/2.
Generalizaciones
Sea ( X , d ) un espacio métrico y dejar que ser un intervalo en la recta real R . Una función f : I → X es absolutamente continua en I si para cada número positivo, hay un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares [ x k , y k ] de I satisface
luego
La colección de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC ( I ; X ).
Una generalización adicional es el espacio AC p ( I ; X ) de las curvas f : I → X tales que [8]
para algunos m en el L p espacio L p (I).
Propiedades de estas generalizaciones
- Toda función absolutamente continua es uniformemente continua y, por tanto, continua . Cada función continua de Lipschitz es absolutamente continua.
- Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continuo, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
- Para f ∈ AC p ( I ; X ), la derivada métrica de f existe para λ - casi todas las veces en I , y la derivada métrica es la más pequeña m ∈ L p ( I ; R ) tal que [9]
Continuidad absoluta de medidas
Definición
Una medida en subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue (en otras palabras, dominado por ) si para cada conjunto medible , implica . Esto está escrito como.
En la mayoría de las aplicaciones, si simplemente se dice que una medida en la línea real es absolutamente continua, sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua, entonces se entiende una continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.
El mismo principio se aplica a las medidas en subconjuntos de Borel de .
Definiciones equivalentes
Las siguientes condiciones en una medida finita μ en subconjuntos de Borel de la línea real son equivalentes: [10]
- μ es absolutamente continuo;
- para cada número positivo ε hay un número positivo δ tal que μ ( A ) < ε para todos los conjuntos Borel A de Lebesgue miden menos de δ ;
- existe una función integrable de Lebesgue g en la línea real tal que para todos los subconjuntos A de Borel de la línea real.
Para obtener una definición equivalente en términos de funciones, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .
Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual ag casi en todas partes. Esta función se denomina derivada Radon-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua μ .
La equivalencia entre (1), (2) y (3) también se cumple en R n para todo n = 1, 2, 3, ...
Así, las medidas absolutamente continuas sobre R n son precisamente las que tienen densidades; como caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente las que tienen funciones de densidad de probabilidad .
Generalizaciones
Si μ y ν son dos medidas en el mismo espacio medible , μ se dice que es absolutamente continuo con respecto a ν si μ ( A ) = 0 para cada conjunto A para el cual ν ( A ) = 0. [11] Esto se escribe como "". Es decir:
La continuidad absoluta de las medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es un preorden más que un orden parcial . En cambio, si y , se dice que las medidas μ y ν son equivalentes . Por tanto, la continuidad absoluta induce un ordenamiento parcial de tales clases de equivalencia .
Si μ es una medida con signo o compleja , se dice que μ es absolutamente continua con respecto a ν si su variación | μ | satisface | μ | ≪ ν; de manera equivalente, si todo conjunto A para el cual ν ( A ) = 0 es μ - nulo .
El teorema de Radon-Nikodym [12] establece que si μ es absolutamente continuo con respecto a ν , y ambas medidas son σ-finitas , entonces μ tiene una densidad, o "derivada de Radon-Nikodym", con respecto a ν , lo que significa que existe una función ν- mensurable f que toma valores en [0, + ∞), denotada por f = dμ / dν , tal que para cualquier conjunto ν- mensurable A tenemos
Medidas singulares
A través del teorema de descomposición de Lebesgue , [13] cada medida se puede descomponer en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular. Consulte medida singular para ver ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.
Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta
Una medida finita μ en subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función de punto
es una función real absolutamente continua. De manera más general, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y solo si su derivada distributiva es una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
Si la continuidad absoluta sostiene entonces la derivada de Radon-Nikodym de μ es igual en casi todas partes a la derivada de F . [14]
De manera más general, se supone que la medida μ es localmente finita (en lugar de finita) y F ( x ) se define como μ ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 y - μ (( x , 0]) para x <0 . En este caso μ es la medida de Lebesgue-Stieltjes generada por F . [15] la relación entre las dos nociones de continuidad absoluta todavía bodegas. [16]
Notas
- ^ Royden 1988 , secc. 5.4, página 108; Nielsen 1997 , Definición 15.6 en la página 251; Athreya & Lahiri 2006 , Definiciones 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 128,129. El intervalo se supone que está acotado y cerrado en los dos primeros libros, pero no en el último.
- ^ Nielsen 1997 , Teorema 20.8 en la página 354; también Royden 1988 , Sect. 5.4, página 110 y Athreya & Lahiri 2006 , Teoremas 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 129,130.
- ^ Athreya y Lahiri 2006 , antes del teorema 4.4.1 en la página 129.
- ^ Royden 1988 , Problema 5.14 (a, b) en la página 111.
- ^ Royden 1988 , Problema 5.14 (c) en la página 111.
- ^ Royden 1988 , Problema 5.20 (a) en la página 112.
- ^ Royden 1988 , Lema 5.11 en la página 108.
- ^ Ambrosio, Gigli & Savaré 2005 , Definición 1.1.1 en la página 23
- ^ Ambrosio, Gigli & Savaré 2005 , Teorema 1.1.2 en la página 24
- ^ La equivalencia entre (1) y (2) es un caso especial de Nielsen 1997 , Proposición 15.5 en la página 251 (falla para medidas σ-finitas); La equivalencia entre (1) y (3) es un caso especial del teorema Radon-Nikodym , ver Nielsen 1997 , Teorema 15.4 en la página 251 o Athreya & Lahiri 2006 , Ítem (ii) del Teorema 4.1.1 en la página 115 (todavía se mantiene para medidas σ-finitas).
- ^ Nielsen 1997 , Definición 15.3 en la página 250; Royden 1988 , secc. 11.6, página 276; Athreya & Lahiri 2006 , Definición 4.1.1 en la página 113.
- ^ Royden 1988 , Teorema 11.23 en la página 276; Nielsen 1997 , Teorema 15.4 en la página 251; Athreya & Lahiri 2006 , Ítem (ii) del Teorema 4.1.1 en la página 115.
- ^ Royden 1988 , Proposición 11.24 en la página 278; Nielsen 1997 , Teorema 15.14 en la página 262; Athreya & Lahiri 2006 , Ítem (i) del Teorema 4.1.1 en la página 115.
- ^ Royden 1988 , Problema 12.17 (b) en la página 303.
- ^ Athreya y Lahiri 2006 , secc. 1.3.2, página 26.
- ^ Nielsen 1997 , Proposición 15.7 en la página 252; Athreya y Lahiri 2006 , Teorema 4.4.3 en la página 131; Royden 1988 , Problema 12.17 (a) en la página 303.
Referencias
- Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
- Athreya, Krishna B .; Lahiri, Soumendra N. (2006), teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
- Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces , Estudios de posgrado en matemáticas, American Mathematical Society, págs. Xvi + 607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , SEÑOR2527916 , Zbl 1180.46001 , MAA
- Nielsen, Ole A. (1997), Introducción a la teoría de la integración y la medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
- Royden, HL (1988), Real Analysis (tercera ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3
enlaces externos
- Continuidad absoluta en Encyclopedia of Mathematics
- Temas en análisis real y funcional por Gerald Teschl