En análisis matemático , una función de variación acotada , también conocido como BV función , es un verdadero -valued función cuya variación total está limitada (finito): la gráfica de una función que tiene esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable , ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección del eje y , despreciando la contribución del movimiento a lo largo del eje x , recorrida por un puntomoverse a lo largo del gráfico tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es el mismo, excepto por el hecho de que el camino continuo a considerar no puede ser el gráfico completo de la función dada (que es una hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección del gráfico con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, un plano ) paralelo a un eje x fijo y al eje y .
Las funciones de variación acotada son precisamente aquellas con respecto a las cuales se pueden encontrar integrales de Riemann-Stieltjes de todas las funciones continuas.
Otra caracterización establece que las funciones de variación acotada en un intervalo compacto son exactamente aquellas f que se pueden escribir como una diferencia g - h , donde tanto g como h son monótonas acotadas . En particular, una función BV puede tener discontinuidades, pero como mucho, muchas.
En el caso de varias variables, una función f definida en un subconjunto abierto Ω deSe dice que tiene variación acotada si su derivada distributiva es una medida de radón finito con valores vectoriales .
Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman un álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes : debido a este hecho, pueden y se usan frecuentemente para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales que involucran funcionales , ordinarios y ecuaciones diferenciales parciales en matemáticas , física e ingeniería .
Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado de la línea real:
- Continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continuo ⊆ absolutamente continuo ⊆ variación continua y acotada ⊆ diferenciable en casi todas partes
Historia
Según Boris Golubov, las funciones BV de una sola variable fueron introducidas por primera vez por Camille Jordan , en el artículo ( Jordan 1881 ) que trata sobre la convergencia de las series de Fourier . El primer paso exitoso en la generalización de este concepto a funciones de varias variables se debió a Leonida Tonelli , [1] quien introdujo una clase de funciones BV continuas en 1926 ( Cesari 1986 , pp. 47-48), para extender su método directo para encontrar soluciones a problemas en el cálculo de variaciones en más de una variable. Diez años después, en ( Cesari 1936 ), Lamberto Cesari cambió el requisito de continuidad en la definición de Tonelli a un requisito de integrabilidad menos restrictivo , obteniendo por primera vez la clase de funciones de variación acotada de varias variables en su total generalidad: como hizo antes Jordan. él, aplicó el concepto para resolver un problema de convergencia de series de Fourier, pero para funciones de dos variables . Después de él, varios autores aplicaron funciones BV para estudiar series de Fourier en varias variables, teoría de medidas geométricas , cálculo de variaciones y física matemática . Renato Caccioppoli y Ennio de Giorgi los utilizaron para definir la medida de los límites no suaves de los conjuntos (consulte la entrada " Conjunto de Caccioppoli " para obtener más información). Olga Arsenievna Oleinik presentó su visión de las soluciones generalizadas para ecuaciones diferenciales parciales no lineales como funciones del espacio BV en el artículo ( Oleinik 1957 ), y fue capaz de construir una solución generalizada de variación acotada de una ecuación diferencial parcial de primer orden en el artículo ( Oleinik 1959 ): unos años más tarde, Edward D. Conway y Joel A. Smoller aplicaron funciones BV al estudio de una única ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal de primer orden en el artículo ( Conway y Smoller 1966 ), demostrando que la solución de el problema de Cauchy para tales ecuaciones es una función de variación acotada, siempre que el valor inicial pertenezca a la misma clase. Aizik Isaakovich Vol'pert desarrolló extensamente un cálculo para las funciones BV : en el artículo ( Vol'pert 1967 ) demostró la regla de la cadena para las funciones BV y en el libro ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) él, junto con su alumno Sergei Ivanovich Hudjaev , exploró ampliamente las propiedades de las funciones BV y su aplicación. Su fórmula de la regla de la cadena fue ampliada más tarde por Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso en el periódico ( Ambrosio y Dal Maso 1990 ).
Definicion formal
Funciones BV de una variable
Definición 1.1. La variación total [2] de una función f continua de valor real (o más generalmente de valor complejo ) , definida en un intervalo [ a , b ] ⊂ ℝ es la cantidad
donde el supremo se hace cargo del conjuntode todas las particiones del intervalo considerado.
Si f es derivable y su derivada es integrable de Riemann, su variación total es la componente vertical de la longitud de arco de su gráfica, es decir,
Definición 1.2. Una función continua de valor realen la línea real se dice que es de variación acotada ( función BV ) en un intervalo elegido [ a , b ] ⊂ ℝ si su variación total es finita, es decir
Puede demostrarse que una función real f es de variación acotada ensi y solo si se puede escribir como la diferencia ƒ = ƒ 1 - ƒ 2 de dos funciones no decrecientes en: este resultado se conoce como la descomposición de Jordan de una función y está relacionado con la descomposición de Jordan de una medida .
A través de la integral de Stieltjes , cualquier función de variación acotada en un intervalo cerrado [ a , b ] define un funcional lineal acotado en C ([ a , b ]). En este caso especial, [3] el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani establece que cada funcional lineal acotado surge de forma única de esta manera. Los funcionales positivos normalizados o medidas de probabilidad corresponden a funciones semicontinuas inferiores positivas no decrecientes . Este punto de vista ha sido importante en la teoría espectral , [4] en particular en su aplicación a ecuaciones diferenciales ordinarias .
Funciones BV de varias variables
Las funciones de variación acotada, funciones BV , son funciones cuya derivada distributiva es una medida finita [5] de radón . Más precisamente:
Definición 2.1. Dejarser un subconjunto abierto de. Una función perteneciendo a L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} se dice de la variación acotada ( función BV ), y se escribe
si existe una medida de radón vectorial finita tal que la siguiente igualdad se mantenga
es decir, define un funcional lineal en el espaciode funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenido en: la medida del vector representa, por tanto, el gradiente distributivo o débil de.
BV se puede definir de manera equivalente de la siguiente manera.
Definición 2.2. Dada una función perteneciendo a , la variación total de[2] en Se define como
dónde es la norma suprema esencial . A veces, especialmente en la teoría de conjuntos de Caccioppoli , se usa la siguiente notación
para enfatizar que es la variación total del gradiente distribucional / débil de. Esta notación recuerda también que si es de clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ) entonces su variación es exactamente la integral del valor absoluto de su gradiente .
El espacio de funciones de variación acotada ( funciones BV ) se puede definir como
Las dos definiciones son equivalentes ya que si luego
por lo tanto define un funcional lineal continuo en el espacio. Desdecomo un subespacio lineal , este funcional lineal continuo se puede extender de forma continua y lineal al conjuntopor el teorema de Hahn-Banach . Por lo tanto, el funcional lineal continuo define una medida de radón mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .
Funciones de BV localmente
Si el espacio funcional de funciones integrables localmente , es decir, funciones pertenecientes a, se considera en las definiciones anteriores 1.2 , 2.1 y 2.2 en lugar del de funciones globalmente integrables , entonces el espacio funcional definido es el de funciones de variación localmente acotada . Precisamente, desarrollando esta idea para la definición 2.2 , una variación local se define de la siguiente manera,
para cada set , habiendo definido como el conjunto de todos los subconjuntos abiertos precompactos decon respecto a la topología estándar de espacios vectoriales de dimensión finita y, en consecuencia, la clase de funciones de variación limitada localmente se define como
Notación
Básicamente, existen dos convenciones distintas para la notación de espacios de funciones de variación limitada local o globalmente y, lamentablemente, son bastante similares: la primera, que es la adoptada en esta entrada, se utiliza, por ejemplo, en las referencias Giusti (1984). (parcialmente), Hudjaev & Vol'pert (1985) (parcialmente), Giaquinta, Modica & Souček (1998) y es el siguiente
- identifica el espacio de funciones de variación acotada globalmente
- identifica el espacio de funciones de variación delimitada localmente
El segundo, que se adopta en las referencias Vol'pert (1967) y Maz'ya (1985) (parcialmente), es el siguiente:
- identifica el espacio de funciones de variación acotada globalmente
- identifica el espacio de funciones de variación delimitada localmente
Propiedades básicas
A continuación, solo se considerarán las propiedades comunes a las funciones de una variable y a las funciones de varias variables, y las demostraciones se llevarán a cabo solo para funciones de varias variables, ya que la prueba para el caso de una variable es una adaptación directa de varias caso de variables: además, en cada sección se indicará si la propiedad es compartida también por funciones de variación localmente acotada o no. Las referencias ( Giusti 1984 , págs. 7-9), ( Hudjaev y Vol'pert 1985 ) y ( Màlek et al. 1996 ) se utilizan ampliamente.
Las funciones BV solo tienen discontinuidades de tipo salto o removibles
En el caso de una variable, la afirmación es clara: para cada punto en el intervalo de definición de la función , cualquiera de las dos afirmaciones siguientes es verdadera
mientras que ambos límites existen y son finitos. En el caso de funciones de varias variables, hay algunas premisas a entender: en primer lugar, hay un continuo de direcciones a lo largo de las cuales es posible acercarse a un punto dado. perteneciente al dominio ⊂. Es necesario precisar un concepto adecuado de límite : elegir un vector unitario es posible dividir en dos juegos
Entonces para cada punto perteneciente al dominio de la función BV, solo una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera
o pertenece a un subconjunto de tener cero dimensional medida de Hausdorff . Las cantidades
se llaman límites aproximados de la función BV en el punto .
V (·, Ω) es semicontinuo más bajo en L 1 (Ω)
El funcional es semicontinua inferior : para ver esto, elija una secuencia de Cauchy de funciones BV convergiendo a tu ∈ L loc 1 ( Ω ) {\ Displaystyle \ scriptstyle u \ en L _ {\ text {loc}} ^ {1} (\ Omega)} . Entonces, dado que todas las funciones de la secuencia y su función límite son integrables y por la definición de límite inferior
Ahora considerando el supremo en el conjunto de funciones tal que entonces la siguiente desigualdad es cierta
que es exactamente la definición de semicontinuidad inferior .
BV (Ω) es un espacio de Banach
Por definición es un subconjunto de L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} , mientras que la linealidad se deriva de las propiedades de linealidad de la integral definitoria, es decir
para todos por lo tanto para todos , y
para todos , por lo tanto para todos , y todo . Las propiedades probadas del espacio vectorial implican quees un subespacio vectorial de L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} . Considere ahora la función definido como
dónde es lo habitual L 1 ( Ω ) {\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)} norma : es fácil demostrar que se trata de una norma de. Para ver esoes completo respecto a él, es decir, es un espacio de Banach , considere una secuencia de Cauchy en . Por definicin, tambin es una secuencia de Cauchy eny por tanto tiene un limite en : desde está delimitado en para cada , luego por menor semicontinuidad de la variación, por lo tanto es una función BV . Finalmente, nuevamente por menor semicontinuidad, eligiendo un pequeño número positivo arbitrario
De esto deducimos que es continuo porque es una norma.
BV (Ω) no es separable
Para ver esto, basta con considerar el siguiente ejemplo perteneciente al espacio : [6] para cada 0 < α <1 definir
como la función característica del intervalo cerrado por la izquierda . Luego, eligiendo α, β ∈tal que α ≠ β la siguiente relación es cierta:
Ahora, para demostrar que cada subconjunto denso deno puede ser contable , basta con ver que para cadaes posible construir las bolas
Obviamente, esas bolas están separadas por pares , y también son una familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es. Esto implica que esta familia tiene la cardinalidad del continuo : ahora, dado que cada subconjunto denso dedebe tener al menos un punto dentro de cada miembro de esta familia, su cardinalidad es al menos la del continuo y por lo tanto no puede ser un subconjunto contable. [7] Este ejemplo puede extenderse obviamente a dimensiones superiores, y dado que solo involucra propiedades locales , implica que la misma propiedad es cierta también para.
Regla de cadena para funciones BV
Las reglas de cadena para funciones no uniformes son muy importantes en matemáticas y física matemática, ya que existen varios modelos físicos importantes cuyos comportamientos se describen mediante funciones o funcionales con un grado muy limitado de suavidad . La siguiente regla de la cadena se demuestra en el artículo ( Vol'pert 1967 , p. 248). Tenga en cuenta que todas las derivadas parciales deben interpretarse en un sentido generalizado, es decir, como derivadas generalizadas .
Teorema . Dejar ser una función de la clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ) y sea ser una función en con siendo un subconjunto abierto de. Luego y
dónde es el valor medio de la función en el punto , definido como
Una fórmula de regla de cadena más general para funciones continuas de Lipschitz ha sido encontrado por Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso y está publicado en el artículo ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ). Sin embargo, incluso esta fórmula tiene consecuencias directas muy importantes: usar en lugar de , dónde también es un función y elección , la fórmula anterior da la regla de Leibniz para funciones
Esto implica que el producto de dos funciones de variación acotada es nuevamente una función de variación acotada , por lo tantoes un álgebra .
BV (Ω) es un álgebra de Banach
Esta propiedad se deriva directamente del hecho de que es un espacio de Banach y también un álgebra asociativa : esto implica que si y son secuencias de Cauchy defunciones que convergen respectivamente a funciones y en , luego
por lo tanto, el producto ordinario de funciones es continuo encon respecto a cada argumento, haciendo de este espacio funcional un álgebra de Banach .
Generalizaciones y extensiones
Funciones BV ponderadas
Es posible generalizar la noción anterior de variación total de modo que las diferentes variaciones se ponderen de manera diferente. Más precisamente, dejemos ser cualquier función creciente tal que (la función de peso ) y dejarser una función del intervalo ⊂ℝ tomando valores en un espacio vectorial normalizado . Entonces el-variación de encima Se define como
donde, como de costumbre, el supremo se toma sobre todas las particiones finitas del intervalo, es decir, todos los conjuntos finitos de números reales tal que
La noción original de variación considerada anteriormente es el caso especial de-variación para la cual la función de peso es la función de identidad : por lo tanto, una función integrable se dice que es un ponderada BV función (de peso) si y solo si es -variación es finita.
El espacio es un espacio vectorial topológico con respecto a la norma
dónde denota la norma supremum habitual de. Władysław Orlicz y Julian Musielak introdujeron y estudiaron las funciones ponderadas de BV en el artículo Musielak & Orlicz 1959 : Laurence Chisholm Young estudió anteriormente el caso dónde es un número entero positivo.
Funciones SBV
Las funciones de SBV, es decir, las funciones especiales de variación limitada fueron introducidas por Luigi Ambrosio y Ennio de Giorgi en el artículo ( Ambrosio y De Giorgi 1988 ), que tratan con problemas de variación de discontinuidad libre : dado un subconjunto abierto de , el espacio es un subespacio lineal adecuado de, ya que el gradiente débil de cada función que le pertenece consiste precisamente en la suma de un- soporte dimensional y un- medida de soporte dimensional y sin términos de dimensiones intermedias , como se ve en la siguiente definición.
Definición . Dada una función integrable localmente , luego si y solo si
1. Existen dos funciones de Borel y de dominio y codominio tal que
2. Para todas las funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenido en, es decir para todos la siguiente fórmula es verdadera:
dónde es el - medida dimensional de Hausdorff .
Los detalles sobre las propiedades de las funciones de SBV se pueden encontrar en los trabajos citados en la sección de bibliografía: en particular, el artículo ( De Giorgi 1992 ) contiene una bibliografía útil .
secuencias bv
Como ejemplos particulares de espacios de Banach , Dunford & Schwartz (1958 , Capítulo IV)
considere espacios de secuencias de variación limitada , además de los espacios de funciones de variación limitada. La variación total de una secuencia x = ( x i ) de números reales o complejos se define porEl espacio de todas las secuencias de variación total finita se denota por bv . La norma sobre bv viene dada por
Con esta norma, el espacio bv es un espacio de Banach que es isomorfo a.
La variación total en sí misma define una norma en un cierto subespacio de bv , denotado por bv 0 , que consta de secuencias x = ( x i ) para las cuales
La norma en bv 0 se denota
Con respecto a esta norma, bv 0 se convierte también en un espacio de Banach, que es isomorfo e isométrico a (aunque no de forma natural).
Medidas de variación acotada
Una medida firmada (o compleja ) en un espacio medible se dice que es de variación acotada si su variación total está limitada: ver Halmos (1950 , p. 123), Kolmogorov & Fomin (1969 , p. 346) o la entrada " Variación total " para más detalles.
Ejemplos de
Como se mencionó en la introducción, dos grandes clases de ejemplos de funciones BV son funciones monótonas y funciones absolutamente continuas. Por un ejemplo negativo: la función
no es de variación acotada en el intervalo
Si bien es más difícil de ver, la función continua
no es de variación acotada en el intervalo ya sea.
Al mismo tiempo, la función
es de variación limitada en el intervalo . Sin embargo, las tres funciones son de variación limitada en cada intervalo. con .
El espacio de Sobolev es un subconjunto adecuado de. De hecho, para cada en es posible elegir una medida (dónde es la medida de Lebesgue en) tal que la igualdad
se sostiene, ya que no es más que la definición de derivada débil y, por lo tanto, es verdadera. Uno puede encontrar fácilmente un ejemplo de una función BV que no es: en la dimensión uno, cualquier función de paso con un salto no trivial servirá.
Aplicaciones
Matemáticas
Las funciones de variación acotada se han estudiado en relación con el conjunto de discontinuidades de funciones y la diferenciabilidad de funciones reales, y los siguientes resultados son bien conocidos. Sies una función real de variación acotada en un intervalo luego
- es continuo excepto como máximo en un conjunto contable ;
- tiene límites unilaterales en todas partes (límites de la izquierda en todas partes en, y desde la derecha en todas partes ;
- la derivada existe casi en todas partes (es decir, excepto para un conjunto de medida cero ).
Para funciones reales de varias variables reales
- la función característica de un conjunto de Caccioppoli es una función BV : las funciones BV se encuentran en la base de la teoría moderna de los perímetros.
- Las superficies mínimas son gráficos de funciones BV : en este contexto, consulte la referencia ( Giusti 1984 ).
Física e ingeniería
La capacidad de las funciones BV para tratar con discontinuidades ha hecho que su uso se generalice en las ciencias aplicadas: las soluciones de problemas en mecánica, física, cinética química son a menudo representables por funciones de variación acotada. El libro ( Hudjaev y Vol'pert 1985 ) detalla un conjunto muy amplio de aplicaciones de física matemática de funciones BV . También hay alguna aplicación moderna que merece una breve descripción.
- El funcional de Mumford-Shah : el problema de segmentación para una imagen bidimensional, es decir, el problema de la reproducción fiel de contornos y escalas de grises equivale a la minimización de dicho funcional .
- Eliminación de ruido de variación total
Ver también
- Renato Caccioppoli
- Conjunto Caccioppoli
- Lamberto Cesari
- Ennio de Giorgi
- Teorema de selección de Helly
- Función integrable localmente
- Espacio L p (Ω)
- Integral de Lebesgue – Stieltjes
- Medida de radón
- Derivada reducida
- Integral de Riemann – Stieltjes
- Variación total
- Aizik Isaakovich Vol'pert
- Eliminación de ruido de variación total
Notas
- ↑ Tonelli introdujo lo que ahora se llama en su honor la variación del plano de Tonelli : para un análisis de este concepto y sus relaciones con otras generalizaciones, ver la entrada " Variación total ".
- ^ a b Consulte la entrada " Variación total " para obtener más detalles e información.
- ^ Véase, por ejemplo, Kolmogorov y Fomin (1969 , págs. 374–376).
- ^ Para una referencia general sobre este tema, consulte Riesz y Szőkefalvi-Nagy (1990)
- ^ En este contexto, "finito" significa que su valor nunca es infinito , es decir, es una medida finita .
- ↑ El ejemplo está tomado de Giaquinta, Modica & Souček (1998 , p. 331): ver también ( Kannan & Krueger 1996 , example 9.4.1, p. 237).
- ↑ Kolmogorov & Fomin (1969 , ejemplo 7, pp. 48-49)utilizan el mismo argumentopara demostrar la no separabilidad del espacio de secuencias acotadas , y también Kannan & Krueger (1996 , ejemplo 9.4.1, pág.237).
Referencias
Trabajos de investigación
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- Kannan, Rangachary; Krueger, Carole King (1996), Análisis avanzado en la línea real , Universitext, Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag, págs. X + 259, ISBN 978-0-387-94642-9, MR 1390758 , Zbl 0.855,26001. Quizás el libro de referencia más completo para la teoría de las funciones BV en una variable: los resultados clásicos y los resultados avanzados se recopilan en el capítulo 6 " Variación limitada " junto con varios ejercicios. El primer autor fue colaborador de Lamberto Cesari .
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- Maz'ya, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13589-8, Zbl 0692.46023; en particular el capítulo 6, "Funciones de encendido en el espacio BV (Ω) ". Una de las mejores monografías sobre la teoría de los espacios de Sobolev .
- Moreau, Jean Jacques (1988), "Variación limitada en el tiempo", en Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD; Strang, G. (eds.), Temas de mecánica no suave , Basilea – Boston – Stuttgart: Birkhäuser Verlag, págs. 1-74, ISBN 3-7643-1907-0, Zbl 0657.28008
- Musielak, Julian; Orlicz, Władysław (1959), "Sobre variaciones generalizadas (I)" (PDF) , Studia Mathematica , Warszawa – Wrocław, 18 : 13–41, doi : 10.4064 / sm-18-1-11-41 , Zbl 0088.26901. En este artículo, Musielak y Orlicz desarrollaron el concepto de funciones BV ponderadas introducido por Laurence Chisholm Young en toda su generalidad.
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- Oleinik, Olga A. (1959), "Construcción de una solución generalizada del problema de Cauchy para una ecuación cuasi-lineal de primer orden mediante la introducción de" viscosidad de fuga " " , Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 14 (2 (86)): 159-164, Zbl 0096.06603( (en ruso) ). Un artículo importante donde el autor construye una solución débil en BV para una ecuación diferencial parcial no lineal con el método de la viscosidad de fuga .
- Tony F. Chan y Jianhong (Jackie) Shen (2005), Procesamiento y análisis de imágenes: métodos variables , PDE, wavelet y estocásticos , SIAM Publisher, ISBN 0-89871-589-X (con cobertura en profundidad y amplias aplicaciones de Bounded Variations en el procesamiento de imágenes moderno, como lo iniciaron Rudin, Osher y Fatemi).
enlaces externos
Teoría
- Golubov, Boris I .; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variación de una función" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- "Función BV" . PlanetMath ..
- Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Variación limitada" . MathWorld .
- Función de variación limitada en Encyclopedia of Mathematics
Otro
- Página de inicio de Luigi Ambrosio en la Scuola Normale Superiore di Pisa . Página de inicio académica (con preimpresiones y publicaciones) de uno de los contribuyentes a la teoría y aplicaciones de las funciones de BV.
- Grupo de Investigación en Cálculo de Variaciones y Teoría de Medidas Geométricas , Scuola Normale Superiore di Pisa .
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