En teoría de control , la fórmula de Ackermann es un método de diseño de sistema de control para resolver el problema de asignación de polos para sistemas de tiempo invariante de Jürgen Ackermann . [1] Uno de los problemas principales en el diseño de un sistema de control es la creación de controladores que cambiarán la dinámica de un sistema al cambiar los valores propios de la matriz que representa la dinámica del sistema de circuito cerrado. [2] Esto equivale a cambiar los polos de la función de transferencia asociada en el caso de que no haya cancelación de polos y ceros.
Control de retroalimentación de estado
Considere un sistema invariante lineal en tiempo continuo con una representación en el espacio de estados
donde x es el vector de estado, u es el vector de entrada y A , B y C son matrices de dimensiones compatibles que representan la dinámica del sistema. Una descripción de entrada-salida de este sistema viene dada por la función de transferencia
Dado que el denominador de la ecuación de la derecha está dado por el polinomio característico de A , los polos de G son valores propios de A (tenga en cuenta que lo contrario no es necesariamente cierto, ya que puede haber cancelaciones entre los términos del numerador y el denominador). Si el sistema es inestable , o tiene una respuesta lenta o cualquier otra característica que no especifique los criterios de diseño, podría ser ventajoso realizar cambios en él. Las matrices A , B y C , sin embargo, pueden representar parámetros físicos de un sistema que no se pueden alterar. Por lo tanto, un enfoque para este problema podría ser crear un circuito de retroalimentación con una ganancia K que alimentará la variable de estado x en la entrada u .
Si el sistema es controlable , siempre hay una entrada tal que cualquier estado se puede transferir a cualquier otro estado . Con eso en mente, se puede agregar un bucle de retroalimentación al sistema con la entrada de control, de manera que la nueva dinámica del sistema será
En esta nueva realización, los polos dependerán del polinomio característico de , es decir
Fórmula de Ackermann
Calcular el polinomio característico y elegir una matriz de retroalimentación adecuada puede ser una tarea desafiante, especialmente en sistemas más grandes. Una forma de facilitar los cálculos es mediante la fórmula de Ackermann. En aras de la simplicidad, considere un vector de entrada único sin parámetro de referencia, como
dónde es un vector de retroalimentación de dimensiones compatibles. La fórmula de Ackermann establece que el proceso de diseño se puede simplificar calculando solo la siguiente ecuación:
en el cual es el polinomio característico deseado evaluado en la matriz , y es la matriz de controlabilidad del sistema.
Prueba
Esta prueba se basa en la entrada de la Enciclopedia de sistemas de soporte vital sobre Control de colocación de postes. [3] Suponga que el sistema es controlable . El polinomio característico de es dado por
Calculando los poderes de resultados en
Reemplazando las ecuaciones anteriores en rendimientos
Del teorema de Cayley-Hamilton ,, por lo tanto
Tenga en cuenta que es la matriz de controlabilidad del sistema. Dado que el sistema es controlable,es invertible. Por lo tanto,
Encontrar , ambos lados se pueden multiplicar por el vector donación
Por lo tanto,
Ejemplo
Considere [4]
Sabemos por el polinomio característico de que el sistema es inestable ya que , la matriz solo tendrá valores propios positivos. Por tanto, para estabilizar el sistema colocaremos una ganancia de retroalimentación
De la fórmula de Ackermann, podemos encontrar una matriz eso cambiará el sistema para que su ecuación característica sea igual a un polinomio deseado. Supongamos que queremos.
Por lo tanto, y calcular los rendimientos de la matriz de controlabilidad
- y
Además, tenemos eso
Finalmente, de la fórmula de Ackermann
Ver también
Referencias
- ^ Ackermann, J. (1972). "Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum" (PDF) . En - Automatisierungstechnik . 20 (1–12). doi : 10.1524 / auto.1972.20.112.297 . ISSN 2196-677X . S2CID 111291582 .
- ^ Teoría y diseño del sistema de control moderno, segunda edición por Stanley M. Shinners
- ^ Ackermann, JE (2009). "Control de colocación de postes". Sistemas de control, robótica y automatización . Incomportable, Heinz. Oxford: Eolss Publishers Co. Ltd. ISBN 9781848265905. OCLC 703352455 .
- ^ "Tema # 13: 16.31 Control de retroalimentación" (PDF) . Web.mit.edu . Consultado el 6 de julio de 2017 .
enlaces externos
- Capítulo sobre la fórmula de Ackermann en Wikilibro de sistemas de control e ingeniería de control