Grupo acilíndricamente hiperbólico

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En el tema matemático de la teoría de grupos geométricos , un grupo hiperbólico acilíndrico es un grupo que admite una acción isométrica 'acilíndrica' no elemental en algún espacio métrico hiperbólico geodésico . ^[1] Esta noción generaliza las nociones de un grupo hiperbólico y de un grupo relativamente hiperbólico e incluye una clase de ejemplos significativamente más amplia, como grupos de clases de mapeo y Out( F _n ) .

Sea G un grupo con una acción isométrica sobre algún espacio métrico geodésico hiperbólico X . Esta acción se llama acilíndrica ^[1] si para todo existen tales que para todo con uno tiene${\displaystyle R\geq 0}$${\ estilo de visualización N> 0, L> 0}$${\ estilo de visualización x, y \ en X}$${\ estilo de visualización d (x, y) \ geq L}$

Si la propiedad anterior se cumple para un elemento específico , la acción de G sobre X se denomina R - acilíndrica . La noción de acilindricidad proporciona un sustituto adecuado para ser una acción propia en el contexto más general donde se permiten acciones no propias. ${\displaystyle R\geq 0}$

Una acción isométrica acilíndrica de un grupo G sobre un espacio métrico hiperbólico geodésico X es no elemental si G admite dos isometrías hiperbólicas independientes de X , es decir, dos elementos loxodrómicos tales que su punto fijo es fijo y son disjuntos. ${\ estilo de visualización g, h \ en G}$${\displaystyle \{g^{+},g^{-}\}\subseteq \parcial X}$${\displaystyle \{h^{+},h^{-}\}\subseteq \parcial X}$

Se sabe (Teorema 1.1 en ^[1] ) que una acción acilíndrica de un grupo G sobre un espacio geodésico hiperbólico métrico X es no elemental si y solo si esta acción tiene órbitas ilimitadas en X y el grupo G no es una extensión finita de un grupo cíclico generado por isometría loxodrómica de  X .

Un grupo G se llama acilíndricamente hiperbólico si G admite una acción isométrica acilíndrica no elemental sobre algún espacio métrico geodésico hiperbólico  X .

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