En matemáticas , Out ( F n ) es el grupo de automorfismo externo de un grupo libre en n generadores . Estos grupos juegan un papel importante en la teoría de grupos geométricos .
Espacio exterior
Out ( F n ) actúa geométricamente sobre un complejo celular conocido como Espacio Exterior de Culler - Vogtmann , que se puede considerar como el espacio de Teichmüller para un ramo de círculos .
Definición
Un punto del espacio exterior es esencialmente un -Gráfico X homotopía equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un-El gráfico es solo un gráfico ponderado con pesos en. La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar la ambigüedad (y obtener un espacio de dimensión finita), se requiere además que la valencia de cada vértice sea de al menos 3.
Una vista más descriptiva que evita la equivalencia de homotopía f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre en n variables. Además, podemos elegir un árbol máximo en X y elegir una dirección para cada borde restante. Ahora asignaremos a cada borde restante e una palabra ende la siguiente manera. Considere el camino cerrado que comienza con e y luego vuelve al origen de e en el árbol máximo. Al componer este camino con f obtenemos un camino cerrado en un ramo de n círculos y, por lo tanto, un elemento en su grupo fundamental.. Este elemento no está bien definido; si cambiamos f por una homotopía libre obtenemos otro elemento. Resulta que esos dos elementos están conjugados entre sí y, por lo tanto, podemos elegir el elemento único cíclicamente reducido en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Esta vista tiene la ventaja de que evita la elección adicional de f y tiene la desventaja de que surge una ambigüedad adicional, porque uno tiene que elegir un árbol máximo y una orientación de los bordes restantes.
El funcionamiento de Out ( F n ) en el espacio exterior se define de la siguiente manera. Cada automorfismo g deinduce una equivalencia de auto homotopía g ' del ramo de n círculos. Al componer f con g ′ se obtiene la acción deseada. Y en el otro modelo es solo la aplicación de gy hacer que la palabra resultante se reduzca cíclicamente.
Conexión a funciones de longitud
Cada punto del espacio exterior determina una función de longitud única. . Una palabra endetermina a través de la homotopy elegido equivalencia de una trayectoria cerrada en X . La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Esta función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación define una incrustación del espacio exterior en algún espacio proyectivo de dimensión infinita.
Estructura simple en el espacio exterior.
En el segundo modelo, un simplex abierto viene dado por todos los -Gráficos, que tienen combinatoriamente el mismo gráfico subyacente y los mismos bordes están etiquetados con las mismas palabras (solo la longitud de los bordes puede diferir). Los límites simples de tal simplex constan de todos los gráficos que surgen de este gráfico al contraer un borde. Si ese borde es un bucle, no se puede colapsar sin cambiar el tipo de homotopía del gráfico. Por tanto, no hay límite simplex. Entonces, uno puede pensar en el espacio exterior como un complejo simple con algunos simples eliminados. Es fácil de verificar, que la acción de es simplicial y tiene grupos de isotropía finitos.
Estructura
El mapa de abelianizacióninduce un homomorfismo deal grupo lineal general , siendo este último el grupo de automorfismo de. Este mapa está en, haciendouna extensión de grupo ,
- .
El kernel es el grupo Torelli de.
En el caso , el mapa es un isomorfismo .
Analogía con grupos de clases de mapeo
Porque es el grupo fundamental de un ramo de n círculos ,puede describirse topológicamente como el grupo de clases de mapeo de un ramo de n círculos (en la categoría de homotopía ), en analogía al grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada que es isomorfa al grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de esa superficie.
Ver también
Referencias
- Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). "Módulos de gráficos y automorfismos de grupos libres" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91-119. doi : 10.1007 / BF01388734 . Señor 0830040 .
- Vogtmann, Karen (2002). "Automorfismos de grupos libres y espacio exterior" (PDF) . Geometriae Dedicata . 94 : 1–31. doi : 10.1023 / A: 1020973910646 . Señor 1950871 .
- Vogtmann, Karen (2008), "¿Qué es ... el espacio exterior?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (7): 784–786, MR 2436509