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En matemáticas , el concepto de grupo relativamente hiperbólico es una generalización importante del concepto de la teoría de grupos geométricos de un grupo hiperbólico . Los ejemplos motivadores de grupos relativamente hiperbólicos son los grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas completas de volumen finito.

Definición intuitiva

Un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un subgrupo H si, después de contraer el gráfico de Cayley de G a lo largo de H - clases laterales , el gráfico resultante equipado con la métrica gráfica habitual se convierte en un espacio δ-hiperbólico y, además, satisface una condición técnica lo que implica que las cuasi-geodésicas con puntos finales comunes viajan a través de aproximadamente la misma colección de clases laterales y entran y salen de estas clases laterales en aproximadamente el mismo lugar.

Definición formal

Dado un grupo G generado finitamente con el gráfico de Cayley Γ ( G ) equipado con la métrica de trayectoria y un subgrupo H de G , se puede construir el gráfico de Cayley conificado de la siguiente manera: Para cada clase lateral izquierda gH , agregue un vértice v ( gH ) al gráfico de Cayley Γ ( G ) y para cada elemento x de gH , agregue una arista e ( x ) de longitud 1/2 desde x hasta el vértice v ( gH ). Esto da como resultado un espacio métrico que puede no ser adecuado (es decir, las bolas cerradas no necesitan ser compactas).

La definición de grupo relativamente hiperbólico, tal como la formuló Bowditch, es la siguiente. Se dice que un grupo G es hiperbólico en relación con un subgrupo H si el gráfico de Cayley conificado tiene las propiedades:

  • Es δ-hiperbólico y
  • está bien : para cada entero L, cada borde pertenece a un número finito de ciclos simples de longitud L.

Si sólo la primera condición se cumple entonces el grupo G se dice que es débilmente relativamente hiperbólica con respecto a H .

La definición del gráfico de Cayley conificado se puede generalizar al caso de una colección de subgrupos y produce la noción correspondiente de hiperbolicidad relativa. Un grupo G que no contiene una colección de subgrupos con respecto a los cuales es relativamente hiperbólico se dice que es un grupo no relativamente hiperbólico.

Propiedades

  • Si un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un grupo hiperbólico H , entonces el propio G es hiperbólico.

Ejemplos

  • Cualquier grupo hiperbólico , como un grupo libre de rango finito o el grupo fundamental de una superficie hiperbólica, es hiperbólico en relación con el subgrupo trivial.
  • El grupo fundamental de una variedad hiperbólica completa de volumen finito es hiperbólico en relación con su subgrupo de cúspides . Un resultado similar es válido para cualquier variedad Riemanniana de volumen finito completo con curvatura seccional negativa pellizcada .
  • El grupo abeliano libre Z 2 de rango 2 es débilmente hiperbólico, pero no hiperbólico, en relación con el subgrupo cíclico Z : aunque el gráfico es hiperbólico, no está bien.
  • El grupo de la clase de asignación de un tipo finito orientable superficie es o bien hiperbólica (cuando 3 g + n <5, donde g es el género y n es el número de punciones) o no es relativamente hiperbólica.
  • El grupo de automorfismo y el grupo de automorfismo externo de un grupo libre de rango finito al menos 3 no son relativamente hiperbólicos.

Referencias