En matemáticas , un teorema de la suma es una fórmula como la de la función exponencial
- e x + y = e x · e y
que expresa, para una función particular f , f ( x + y ) en términos de f ( x ) yf ( y ). Un poco más en general, como es el caso de las funciones trigonométricas sen y cos , pueden estar implicadas varias funciones; esto es más aparente que real, en ese caso, ya que hay cos es una función algebraica de sin (en otras palabras, usualmente tomamos sus funciones como se definen en el círculo unitario ).
El alcance de la idea de un teorema de la adición se exploró por completo en el siglo XIX, impulsado por el descubrimiento del teorema de la adición para funciones elípticas . Para 'clasificar' los teoremas de la suma es necesario poner alguna restricción sobre el tipo de función G admitida, tal que
- F ( x + y ) = G ( F ( x ), F ( y )).
En esta identidad se puede asumir que F y G tienen valores vectoriales (tienen varios componentes). Un teorema de la adición algebraica es aquel en el que G puede tomarse como un vector de polinomios , en algún conjunto de variables. La conclusión de los matemáticos de la época fue que la teoría de las funciones abelianas esencialmente agotaba las interesantes posibilidades: considerada como una ecuación funcional a resolver con polinomios, o incluso funciones racionales o funciones algebraicas , no existían más tipos de solución.
En un lenguaje más contemporáneo, esto aparece como parte de la teoría de grupos algebraicos , que trata de grupos conmutativos. Los ejemplos de variedades proyectivas conectadas se agotan de hecho por las funciones abelianas, como lo demuestran una serie de resultados que caracterizan una variedad abeliana por condiciones bastante débiles en su ley de grupo. Se sabe que las llamadas funciones cuasi-abelianas provienen de extensiones de variedades abelianas por variedades conmutativas de grupos afines. Por lo tanto, se puede decir que se cumplen las viejas conclusiones sobre el alcance de los teoremas de la adición algebraica global. Un aspecto más moderno es la teoría de grupos formales .