Cronología de las variedades abelianas

Esta es una línea de tiempo de la teoría de las variedades abelianas en geometría algebraica , incluidas las curvas elípticas.

Historia temprana

• C. 1000 Al-Karaji escribe en números congruentes ^[1]

Decimoséptimo siglo

• Fermat estudia el descenso para curvas elípticas
• 1643 Fermat plantea una ecuación diofántica de curva elíptica ^[2]
• 1670 El hijo de Fermat publicó su Diofanto con notas

Siglo dieciocho

• 1718 Giulio Carlo Fagnano dei Toschi , estudia la rectificación de la lemniscata , resultados de suma para integrales elípticas . ^[3]
• 1736 Leonhard Euler escribe sobre la ecuación del péndulo sin la aproximación de ángulo pequeño. ^[4]
• 1738 Euler escribe sobre curvas del género 1 consideradas por Fermat y Frenicle
• 1750 Euler escribe sobre integrales elípticas
• 23 de diciembre de 1751 - 27 de enero de 1752: Nacimiento de la teoría de las funciones elípticas , según comentarios posteriores de Jacobi, como escribe Euler sobre la obra de Fagnano. ^[5]
• 1775 John Landen publica la transformación de Landen , ^[6] una fórmula de isogenia .
• 1786 Adrien-Marie Legendre comienza a escribir sobre integrales elípticas
• 1797 Carl Friedrich Gauss descubre la doble periodicidad de la función lemniscate ^[7]
• 1799 Gauss encuentra la conexión de la longitud de una lemniscata y un caso de la media aritmético-geométrica , dando un método numérico para una integral elíptica completa . ^[8]

Siglo xix

• 1826 Niels Henrik Abel , mapa de Abel-Jacobi
• 1827 Inversión de integrales elípticas independientemente por Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi
• 1829 Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , introduce cuatro funciones theta de una variable
• 1835 Jacobi señala el uso de la ley de grupo para la geometría diofántica , en De usu Theoriae Integralium Ellipticorum et Integralium Abelianorum en Analysi Diophantea ^[9]
• 1836-7 Friedrich Julius Richelot , la isogenia de Richelot . ^[10]
• 1847 Adolph Göpel da la ecuación de la superficie de Kummer ^[11]
• 1851 Johann Georg Rosenhain escribe un ensayo sobre el problema de la inversión en el género 2. ^[12]
• C. 1850 Thomas Weddle - Superficie de cuña
• 1856 Funciones elípticas de Weierstrass
• 1857 Bernhard Riemann ^[13] sienta las bases para nuevos trabajos sobre variedades abelianas en dimensión> 1, introduciendo las relaciones bilineales de Riemann y la función theta de Riemann .
• 1865 Carl Johannes Thomae , Theorie der ultraelliptischen Funktionen und Integrale erster und zweiter Ordnung ^[14]
• 1866 Alfred Clebsch y Paul Gordan , Theorie der Abel'schen Functionen
• 1869 Karl Weierstrass demuestra que una función abeliana satisface un teorema de la adición algebraica
• 1879, Charles Auguste Briot , Théorie des fonctions abéliennes
• 1880 En una carta a Richard Dedekind , Leopold Kronecker describe su Jugendtraum , ^[15] para utilizar la teoría de la multiplicación compleja para generar extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios.
• 1884 Sofia Kovalevskaya escribe sobre la reducción de funciones abelianas a funciones elípticas ^[16]
• 1888 Friedrich Schottky encuentra una condición no trivial en las constantes theta para las curvas de género , lanzando el problema de Schottky .${\displaystyle g=4}$
• 1891 El teorema de Appell-Humbert de Paul Émile Appell y Georges Humbert clasifica los haces de líneas holomórficas en una superficie abeliana mediante datos de cociclo .
• 1894 Die Entwicklung der Theorie der algebräischen Functionen in älterer und neuerer Zeit , informe de Alexander von Brill y Max Noether
• 1895 Wilhelm Wirtinger , Untersuchungen über Thetafunktionen , estudia las variedades Prym
• 1897 HF Baker , Funciones abelianas: el teorema de Abel y la teoría aliada de las funciones theta

Siglo veinte

• c.1910 La teoría de las funciones normales de Poincaré implica que la variedad Picard y la variedad Albanese son isógenas . ^[17]
• Teorema de Torelli de 1913 ^[18]
• 1916 Gaetano Scorza ^[19] aplica el término "variedad abeliana" a toros complejos .
• 1921 Solomon Lefschetz muestra que cualquier toro complejo con matriz de Riemann que satisfaga las condiciones necesarias se puede incrustar en algún espacio proyectivo complejo utilizando funciones theta
• 1922 Louis Mordell demuestra el teorema de Mordell : los puntos racionales en una curva elíptica sobre los números racionales forman un grupo abeliano generado finitamente
• 1929 Arthur B. Coble , Geometría algebraica y funciones Theta
• Formas modulares Siegel de 1939 ^[20]
• C. 1940 André Weil define la "variedad abeliana"
• 1952 Weil define un jacobiano intermedio
• Teorema del cubo
• Grupo selmer
• Michael Atiyah clasifica los paquetes de vectores holomórficos en una curva elíptica
• 1961 Goro Shimura y Yutaka Taniyama , Multiplicación compleja de variedades abelianas y sus aplicaciones a la teoría de números
• Modelo Néron
• Conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer
• Espacio de módulos para variedades abelianas
• Dualidad de variedades abelianas
• c.1967 David Mumford desarrolla una nueva teoría de las ecuaciones que definen las variedades abelianas
• 1968 El teorema de Serre-Tate sobre una buena reducción extiende los resultados de Max Deuring sobre curvas elípticas al caso de la variedad abeliana. ^[21]
• C. 1980 Transformada de Mukai-Fourier : el haz de líneas de Poincaré como núcleo de Mukai-Fourier induce una equivalencia de las categorías derivadas de gavillas coherentes para una variedad abeliana y su dual. ^[22]
• 1983 Takahiro Shiota prueba la conjetura de Novikov sobre el problema de Schottky
• 1985 Jean-Marc Fontaine muestra que cualquier variedad abeliana de dimensión positiva sobre los racionales tiene una mala reducción en alguna parte. ^[23]

Siglo veintiuno

• 2001 Se completa la prueba del teorema de modularidad para curvas elípticas.

Notas

1. PDF
2. Ecuaciones diofánticas diversas en MathPages ^{[ ¿fuente no confiable? ]}
3. Biografía de Fagnano_Giulio
4. ET Whittaker , Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (cuarta edición, 1937), p. 72.
5. André Weil , Teoría de los números: un enfoque a través de la historia (1984), p. 1.
6. Biografía de Landen
7. Cronología de la vida de Carl F. Gauss
8. Semen Grigorʹevich Gindikin, Tales of Physicists and Mathematicians (traducción de 1988), p. 143.
9. Dale Husemoller , Curvas elípticas .
10. Richelot, Essai sur une méthode générale pour déterminer les valeurs des intégrales ultra-elliptiques, fondée sur des transformations remarquables de ces trascendantes, CR Acad. Sci. París. 2 (1836), 622-627; De transforme integralium Abelianorum primi ordinis commentatio , J. Reine Angew. Matemáticas. 16 (1837), 221-341.
11. Biografía de Gopel
12. http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Rosenhain.html
13. Theorie der Abel'schen Funktionen, J. Reine Angew. Matemáticas. 54 (1857), 115-180
14. http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Thomae.html
15. Robert Langlands , Algunos problemas contemporáneos con los orígenes del Jugendtraum
16. Über die Reduction einer bestimmten Klasse Abel'scher Integrale Ranges auf elliptische Integrale, Acta Mathematica 4, 392–414 (1884).
17. PDF , pág. 168.
18. Ruggiero Torelli , Sulle varietà di Jacobi , Rend. della R. Acc. Nazionale dei Lincei (5), 22, 1913, 98–103.
19. Gaetano Scorza , Intorno alla teoria generale delle matrici di Riemann e ad alcune sue application, Rend. del Circolo Mat. di Palermo 41 (1916)
20. Carl Ludwig Siegel , Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n -ten Grades , Mathematische Annalen 116 (1939), 617–657
21. Jean-Pierre Serre y John Tate , Buena reducción de variedades abelianas , Anales de matemáticas , Segunda serie, Vol. 88, núm. 3 (noviembre de 1968), págs. 492-517.
22. Daniel Huybrechts , Fourier-Mukai transforma en geometría algebraica (2006), Cap. 9.
23. Jean-Marc Fontaine , Il n'y a pas de variété abélienne sur Z , Inventiones Mathematicae (1985) no. 3, 515–538.