En matemáticas , un punto adherente (también punto de cierre o punto de cierre o punto de contacto ) [1] de un subconjunto de un espacio topológico es un punto en tal que cada barrio de(o equivalentemente, cada vecindario abierto de) contiene al menos un punto de Un punto es un punto adherente para si y solo si está en el cierre de por lo tanto
- si y solo si para todos los subconjuntos abiertos Si luego
Esta definición difiere de la de un punto límite , en que para un punto límite se requiere que cada vecindario de contiene al menos un punto de diferente de Por tanto, todo punto límite es un punto adherente, pero lo contrario no es cierto. Un punto adherente de es un punto límite de o un elemento de (o ambos). Un punto adherente que no es un punto límite es un punto aislado .
Intuitivamente, tener un set abierto definida como el área dentro (pero sin incluir) algún límite, los puntos adherentes de son los de incluyendo el límite.
Ejemplos de
- Si es un subconjunto no vacío deque está delimitado por encima, entonces el supremo es adherente a
- Un subconjunto de un espacio métrico contiene todos sus puntos adherentes si, y solo si, está ( secuencialmente ) cerrado en
- En el intervalo es un punto adherente que no está en el intervalo, con topología habitual de
- Si es un subconjunto de un espacio topológico, entonces el límite de una secuencia convergente en no pertenece necesariamente a sin embargo, siempre es un punto de adherencia Dejar ser tal secuencia y dejar sea su límite. Entonces, por definición de límite, para todos los vecindarios de existe tal que para todos En particular, y también entonces es un punto adherente de
- En contraste con el ejemplo anterior, el límite de una secuencia convergente en no es necesariamente un punto límite de ; por ejemplo considere como un subconjunto de Entonces la única secuencia en es la secuencia constante cuyo límite es pero no es un punto límite de ; es solo un punto adherente de
Ver también
- Punto límite : un punto x en un espacio topológico, cuyos vecindarios contienen algún punto en un subconjunto dado que es diferente de x .
- Cierre (topología)
Notas
- ^ Steen, pág. 5; Lipschutz, pág. 69; Adamson, pág. 15.
Referencias
- Adamson, Iain T., un libro de trabajo de topología general , Birkhäuser Boston; 1a edición (29 de noviembre de 1995). ISBN 978-0-8176-3844-3 .
- Apostol, Tom M. , Análisis matemático , Addison Wesley Longman; segunda edición (1974). ISBN 0-201-00288-4
- Lipschutz, Seymour ; Esquema de topología general de Schaum , McGraw-Hill; 1a edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2 .
- LA Steen , JASeebach, Jr. , contraejemplos en topología , (1970) Holt, Rinehart y Winston, Inc.
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