En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio secuencial es un espacio topológico que satisface un axioma de contabilidad muy débil .
En cualquier espacio topológico cada subconjunto abierto tiene la siguiente propiedad: si una secuencia en converge a algún punto en entonces la secuencia eventualmente estará completamente en (es decir, existe un número entero tal que todos pertenecen a ); Se dice que cualquier conjunto con esta propiedad se abre secuencialmente , independientemente de si está abierto o no en Sin embargo, es posible que exista un subconjunto que tiene esta propiedad pero no es un subconjunto abierto deLos espacios secuenciales son exactamente aquellos espacios topológicos donde un subconjunto con esta propiedad nunca deja de estar abierto. Los espacios secuenciales se pueden ver exactamente como esos espacios donde para cualquier subconjunto dado conocimiento de qué secuencias en converger a qué punto (s) de (y cuáles no) es suficiente para determinar si está cerrado en [nota 1] Por lo tanto, los espacios secuenciales son esos espacios para que secuencias en se puede utilizar como una "prueba" para determinar si un subconjunto dado está abierto (o, lo que es lo mismo, cerrado) en ; o dicho de otra manera, los espacios secuenciales son aquellos espacios cuyas topologías pueden caracterizarse completamente en términos de convergencia de secuencias. En cualquier espacio que no sea secuencial, existe un subconjunto para el cual esta "prueba" da un " falso positivo ". [nota 2]
Alternativamente, un espacio ser secuencial significa que su topología si se " olvida ", se puede reconstruir completamente usando solo secuencias si se tiene toda la información posible sobre la convergencia (o no convergencia) de secuencias eny nada mas . Sin embargo, como todas las topologías, cualquier topología que no pueda describirse completamente en términos de secuencias puede, no obstante, describirse completamente en términos de redes (también conocidas como secuencias de Moore-Smith) o, alternativamente, en términos de filtros . Todos los primeros espacios contables , que incluyen espacios métricos , son espacios secuenciales.
Hay otras clases de espacios topológicos, como los espacios de Fréchet-Urysohn , los espacios T- secuenciales y-espacios secuenciales, que también se definen en términos de cómo la topología de un espacio interactúa con las secuencias. Sus definiciones difieren de la de los espacios secuenciales solo en formas sutiles (pero importantes) y, a menudo (inicialmente) es sorprendente que un espacio secuencial no tenga necesariamente las propiedades de un Fréchet-Urysohn, T -secuencial o-espacio secuencial.
Espacios secuenciales y -los espacios secuenciales fueron introducidos por SP Franklin . [1]
Historia
Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se habían estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe originalmente a SP Franklin en 1965, quien estaba investigando la cuestión de "¿cuáles son las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes? " Franklin llegó a la definición anterior al señalar que cada primer espacio contable puede especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes, y luego abstrajo las propiedades de los primeros espacios contables que permitieron que esto fuera cierto.
Definiciones
Preliminares
Dejar ser un set y dejar ser una secuencia endonde una secuencia en un conjuntoes por definición solo un mapa de los números naturales dentro Si es un conjunto entonces significa que el es una secuencia en Si es un mapa entonces denota la secuencia Porque la secuencia es solo una función esto es consistente con la definición de composición de funciones , lo que significa que
Para cualquier índice la cola de a partir de es el conjunto :
El conjunto de todas las colas de se denota por
y forma una base de filtro (también llamado prefiltro ) enpor eso se le llama prefiltro de colas o filtro secuencial base de colas de
Si es un subconjunto, luego una secuencia en eventualmente está en si existe algún índice tal que (es decir, para cualquier entero tal que ).
Dejar ser un espacio topológico ( no necesariamente Hausdorff ) y dejar ser una secuencia en La secuencia converge en a un punto escrito en y se llama un punto límite de si por cada barrio de en eventualmente está en Como de costumbre, la notación Significa que en y es el único punto límite de en eso es, si en luego Si no es Hausdorff, entonces es posible que una secuencia converja en dos o más puntos distintos.
Un punto se llama un punto de agrupación o punto de acumulación de en si por cada barrio de en y cada existe un entero tal que (o dicho de manera diferente, si y solo si para cada vecindario de y cada ).
Cierre secuencial / interior
Dejar ser un espacio topológico y dejar ser un subconjunto. El cierre topológico (resp. Interior topológico ) de en se denota por (resp. ).
El cierre secuencial de en es el conjunto:
dónde o se puede escribir si se necesita claridad. La inclusiónsiempre se mantiene, pero en general, la igualdad de conjuntos puede no ser válida. El operador de cierre secuencial es el mapa. definido por dónde denota el conjunto de poder de
El interior secuencial de en es el conjunto:
dónde o se puede escribir si se necesita claridad.
Siempre es cierto que y para todos los subconjuntos
Para cualquier
de modo que en consecuencia,
Sin embargo, en general es posible que lo que en particular implicaría que porque el operador de cierre topológico es idempotente , lo que significa que para todos los subconjuntos
- Cierre secuencial transfinito
El cierre secuencial transfinito se define de la siguiente manera: definir ser - estar definir ser - estar y por un límite ordinal definir ser - estar Entonces hay un ordinal más pequeño tal que y por esto se llama el cierre secuencial transfinito de De echo, siempre se sostiene donde es el primer ordinal incontable . El cierre secuencial transfinito dese cierra secuencialmente. Tomar el cierre secuencial transfinito resuelve el problema de idempotencia anterior. El mas pequeño tal que para cada se llama orden secuencial del espacio[2] Este invariante ordinal está bien definido para espacios secuenciales.
Conjuntos secuencialmente abiertos / cerrados
Dejar ser un espacio topológico ( no necesariamente Hausdorff ) y dejarser un subconjunto. Se sabe que el subconjunto está abierto en si y solo si siempre es una red en que converge en a un punto luego eventualmente está en donde " eventualmente en"significa que existe algún índice tal que para todos satisfactorio La definición de un subconjunto abierto secuencialmente de utiliza una variación de esta caracterización en la que las redes se reemplazan por secuencias.
El conjunto se llama secuencialmente abierta si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: Siempre que una secuencia en converge a algún punto de entonces esa secuencia finalmente está en
- Si es una secuencia en y si existe alguna es tal que en luego eventualmente está en (es decir, existe algún número entero tal que la cola ).
- El conjunto se cierra secuencialmente en
El conjunto se llama secuencialmente cerrada si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: Siempre que una secuencia en converge en hasta cierto punto luego
- Si es una secuencia en y si existe alguna es tal que en luego
- El conjunto está abierto secuencialmente en
El complemento de un conjunto secuencialmente abierto es un conjunto secuencialmente cerrado y viceversa.
El conjunto se llama vecindad secuencial de un punto si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición:
- Es importante destacar que "es un vecindario secuencial de" no se define como:" existe un conjunto abierto secuencialmente tal que "
- Cualquier secuencia en que converge a eventualmente está en
Dejar
denotar el conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente de donde esto puede ser denotado por es la topologia está entendido. Cada subconjunto abierto (resp. Cerrado) de es secuencialmente abierto (resp. secuencialmente cerrado), lo que implica que
Es posible que la contención ser apropiado , lo que significa que puede existir un subconjunto deque es secuencialmente abierta pero no abierta. De manera similar, es posible que exista un subconjunto cerrado secuencialmente que no esté cerrado.
Espacios secuenciales
Un espacio topológico se denomina espacio secuencial si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: Cada subconjunto abierto secuencialmente de Esta abierto.
- Cada subconjunto cerrado secuencialmente de está cerrado.
- Para cualquier subconjunto que no esta cerrado en existe algo para el cual existe una secuencia en que converge a [3]
- Compare esta condición con la siguiente caracterización de un espacio de Fréchet-Urysohn :
- Para cualquier subconjunto que no esta cerrado en y por cada existe una secuencia en que converge a
- Esto hace que sea obvio que cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial.
- es el cociente de un primer espacio contable.
- es el cociente de un espacio métrico.
- Propiedad universal de los espacios secuenciales : para cada espacio topológico un mapa es continuo si y solo si es secuencialmente continuo .
- Un mapa se llama secuencialmente continuo si para cada y cada secuencia en Si en luego en Esta condición es equivalente al mapa siendo continuo.
- Todo mapa continuo es necesariamente secuencialmente continuo pero, en general, lo contrario puede fallar.
Tomando y ser el mapa de identidad en en la última condición, se sigue que la clase de espacios secuenciales consiste precisamente en aquellos espacios cuya estructura topológica está determinada por secuencias convergentes.
Prueba de las equivalencias |
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(1) ⇔ (2) : Suponga que cualquier subconjunto abierto secuencialmente está abierto y dejeser cerrado secuencialmente. Se demuestra arriba que el complemento se abre secuencialmente y, por tanto, se abre de modo que está cerrado. Lo contrario es similar. (2) ⇔ (3) : La contraposición de 2 dice que " no cerrado implica no secuencialmente cerrada ", y por lo tanto existe una secuencia de elementos de que converge a un punto fuera de Dado que el límite es necesariamente adherente aes en el cierre de Por el contrario, suponga para una contradicción que un subconjunto se cierra secuencialmente pero no se cierra. Por 3, existe una secuencia en que converge a un punto en es decir, el límite está fuera Esto contradice la cerrazón secuencial de |
T- secuencial y-espacios secuenciales
Un espacio secuencial puede no ser un espacio secuencial T y también un espacio secuencial T puede no ser un espacio secuencial. En particular, debe no ser asumido que un espacio secuencial tiene las propiedades descritas en las siguientes definiciones.
Un espacio topológico se llama un espacio secuencial T (o secuencial topológico ) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: [1]
- Definición: El interior secuencial de cada subconjunto de está abierto secuencialmente.
- El cierre secuencial de cada subconjunto de se cierra secuencialmente.
- Para todos
- La inclusión siempre se mantiene para cada
- Para todos
- La inclusión siempre vale para todos
- Para todos es igual a la unión de todos los subconjuntos de que se abren secuencialmente en
- Para todos es igual a la intersección de todos los subconjuntos de que contienen y se cierran secuencialmente en
- Para todos la colección de todos los vecindarios abiertos secuencialmente de en forma una base de vecindario en para el conjunto de todos los vecindarios secuenciales de
- Esto significa para cualquier y cualquier vecindario secuencial de existe un conjunto secuencialmente abierto tal que
- Aquí, la definición exacta de "vecindario secuencial" es importante porque recuerde que " es un vecindario secuencial de "se definió en el sentido de que
- Para cualquier y cualquier vecindario secuencial de existe un vecindario secuencial de tal que por cada el conjunto es un vecindario secuencial de
Al igual que con T espacios -sequential, debe no ser asumido que un espacio secuencial tiene las propiedades descritas en la siguiente definición.
Un espacio topológico se llama un -sequential (o barrio-secuencial ) espacio si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: [1]
- Definición: Para cada si un juego es un vecindario secuencial de luego es un barrio de en
- Recordar que ser un vecindario secuencial (resp. un vecindario) de significa que (resp. ).
- es tanto secuencial como T-secuencial.
Cada primer espacio contable es-secuencial. [1] Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no -secuencial (y por tanto no T -secuencial). [1] donde recordemos que cada espacio metrizable es primero contable. También existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales en T pero no secuenciales. [1]
Espacios de Fréchet-Urysohn
Cada espacio Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial pero existen espacios secuenciales que no son Fréchet-Urysohn. [4] [5] En consecuencia, debe no ser asumido que un espacio secuencial tiene las propiedades descritas en la siguiente definición.
Un espacio topológico se denomina espacio de Fréchet-Urysohn si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: para cada subconjunto
- Cada subespacio topológico de es un espacio secuencial.
- Para cualquier subconjunto que no esta cerrado eny por cada existe una secuencia en que converge a
A veces también se dice que los espacios de Fréchet-Urysohn son de Fréchet , que no deben confundirse con los espacios de Fréchet en el análisis funcional ; De manera confusa, el espacio de Fréchet en topología también se usa a veces como sinónimo de espacio T 1 .
Topología de conjuntos abiertos secuencialmente
Dejar denotar el conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente del espacio topológico Luego es una topología en que contiene la topología original es decir,
Pruebas |
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Dejar ser secuencialmente abierto. Ahora se muestra que su complementose cierra secuencialmente; es decir, que una secuencia convergente de elementos de tiene su límite en Supongamos por una contradicción que entonces existe un entero tal que que contradice el hecho de que todos se supone que están en Ahora se mostrará lo contrario; es decir, ahora se muestra que si está secuencialmente cerrado entonces su complemento está abierto secuencialmente. Dejar ser una secuencia en tal que y supongamos por una contradicción que para cualquier es decir, para todos los enteros existe Definir por recursividad la subsecuencia de elementos de : colocar y entonces es decir, y Es convergente como una subsecuencia de una secuencia convergente, y todos sus elementos están en Por lo tanto, el límite tiene que estar en que contradice eso Por tanto, la secuencia se encuentra finalmente en Ahora se muestra que el conjunto de subconjuntos abiertos secuencialmente es una topología. Específicamente, esto significa que y son secuencialmente abiertas, las uniones arbitrarias de subconjuntos secuencialmente abiertos son secuencialmente abiertas y las intersecciones finitas de subconjuntos secuenciales abiertos son secuencialmente abiertas. Cualquier secuencia vacía satisface cualquier propiedad y cualquier secuencia en eventualmente está en Dejar ser una familia de subconjuntos abiertos secuencialmente, dejemos y deja ser una secuencia en convergiendo a estar en la unión significa que existe tal que y por apertura secuencial, la secuencia finalmente está en Finalmente, si es una intersección finita de subconjuntos abiertos secuencialmente, luego una secuencia que converge a eventualmente converge a cada uno de los es decir para todos satisfactorio existe algo tal que Tomando uno tiene La topología secuencial generada es más fina que la original, lo que significa que siestá abierto, entonces está abierto secuencialmente. Dejar ser una secuencia en convergiendo a Desde está abierto, es un barrio de y por definición de convergencia, existe tal que |
El espacio topológico se ha dicho secuencialmente Hausdorff sies un espacio de Hausdorff .
Propiedades de la topología de conjuntos abiertos secuencialmente
Cada espacio secuencial tiene una estrechez contable .
El espacio topológico es siempre un espacio secuencial (incluso si no es), [6] y tiene las mismas secuencias y límites convergentes que Explícitamente, esto significa que si y es una secuencia en luego en si y solo si en
Si hay alguna topología en tal que una secuencia en converge a un punto de en si y solo si lo hace en entonces necesariamente
Si es continuo, entonces también lo es
Continuidad secuencial
Un mapa se llama secuencialmente continuo si para cada secuencia en y cada Si en entonces necesariamente en que pasa si y solo si
es continuo .
Cada mapa continuo es secuencialmente continuo aunque, en general, lo contrario puede fallar. De hecho, un espacioes un espacio secuencial si y solo si tiene la siguiente propiedad universal para espacios secuenciales :
- para cada espacio topológico y cada mapa el mapa es continuo si y solo si es secuencialmente continuo.
Condiciones suficientes
Cada primer espacio contable es secuencial, por lo tanto, cada segundo espacio contable , espacio métrico y espacio discreto es secuencial. Cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn y cada espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Así, todo espacio metrizable y pseudometrizable es un espacio secuencial y un espacio Fréchet-Urysohn.
Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y solo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes. [7] [8]
Dejar ser un set y dejar ser una familia de -mapas valoradas con cada mapa siendo de la forma donde el dominio es un espacio topológico. Si cada dominioes un espacio de Fréchet-Urysohn, luego la topología final en Inducido por hace en un espacio secuencial.
Ejemplos de
Cada complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico. El espectro principal de un anillo noetheriano conmutativo con la topología de Zariski es secuencial.
- Espacios secuenciales que no son contables primero
Toma la linea real e identificar el conjuntode enteros a un punto. Es un espacio secuencial ya que es un cociente de un espacio métrico. Pero no es contable primero.
Espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn
Los siguientes espacios ampliamente utilizados son ejemplos destacados de espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. Dejardenotar el espacio de Schwartz y dejar denotar el espacio de funciones suaves en un subconjunto abierto donde ambos espacios tienen sus topologías espaciales de Fréchet habituales , como se define en el artículo sobre distribuciones . Ambas cosas y así como los fuertes espacios duales de ambos espacios, son espacios ultrabornológicos de Montel nucleares completos , lo que implica que los cuatro de estos espacios localmente convexos son también espacios paracompactos [9] normales reflexivos con cañón . Los fuertes espacios duales de ambos y son espacios secuenciales pero ninguno de estos duales es un espacio de Fréchet-Urysohn . [10] [11]
Cada espacio Montel DF de dimensión infinita es un espacio secuencial, pero no un espacio Fréchet-Urysohn .
Ejemplos de espacios no secuenciales
- Espacios de funciones y distribuciones de prueba
Dejar denotar el espacio de funciones de prueba con su topología LF canónica, que lo convierte en un espacio LF estricto distinguido y dejadenotar el espacio de distribuciones, que por definición es el fuerte espacio dual deEstos dos espacios, que sustentan completamente la teoría de las distribuciones y que tienen muchas propiedades agradables, son sin embargo ejemplos prominentes de espacios que no son espacios secuenciales (y por lo tanto ni espacios de Fréchet-Urysohn ni-espacios secuenciales).
Ambas cosas y son espacios ultrabornológicos nucleares completos de Montel , lo que implica que los cuatro de estos espacios localmente convexos son también espacios paracompactos [9] reflejos normales con cañón . Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia de funcionales lineales continuos converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil * (es decir, puntual), [12] que en particular, es la razón por la cual una secuencia de distribuciones converge en (con se le da una fuerte topología dual) si y solo si converge puntualmente. El espacioes también un espacio vectorial topológico de Schwartz . Sin embargo, ni ni su fuerte dual es un espacio secuencial (ni siquiera un espacio Ascoli ). [10] [11]
- Topología contable
Otro ejemplo de un espacio que no es secuencial es la topología cocountable en un conjunto incontable. Cada secuencia convergente en tal espacio es eventualmente constante, por lo tanto, cada conjunto es secuencialmente abierto. Pero la topología de cocountable no es discreta . De hecho, se podría decir que la topología cocountable en un conjunto incontable es "secuencialmente discreta".
Propiedades
Si es un continuo abierto surjection entre dos espacios secuenciales Hausdorff entonces el conjunto es un subconjunto cerrado de el conjunto es un subconjunto cerrado de que satisface y la restricción es inyectable .
Si es un mapa sobreyectivo (no se supone que sea continuo) en un espacio secuencial de Hausdorff y si es una base para la topología en luego es un mapa abierto si y solo si para cada y cada barrio básico de Si en entonces necesariamente Aquí, denota la imagen (o rango) de la secuencia / mapa
Propiedades categóricas
La subcategoría Seq completa de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:
- Cocientes
- Imágenes continuas cerradas o abiertas
- Sumas
- Límites inductivos
- Abierta y cerrada subespacios
La categoría Sec es no cerrado bajo las siguientes operaciones en Inicio :
- Imágenes continuas
- Subespacios
- Productos finitos
Dado que están cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, los espacios secuenciales forman una subcategoría coreflectiva de la categoría de espacios topológicos . De hecho, son el casco coreflectivo de los espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes y que contienen los espacios metrizables).
La subcategoría Seq es una categoría cerrada cartesiana con respecto a su propio producto (no al de Top ). Los objetos exponenciales están equipados con la topología abierta (secuencia convergente). PI Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cerrada cartesiana más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos , complejos CW y variedades diferenciables y que está cerrada bajo colimits, cocientes y otras "ciertas identidades razonables "que Norman Steenrod describió como" conveniente ".
Ver también
- Axiomas de contabilidad
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Primer espacio contable : un espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
- Espacio Fréchet-Urysohn
- Mapa de cobertura de secuencia
Notas
- ^ Esta interpretación asume que usted toma esta determinación solo para el conjunto dadoy no a otros conjuntos; Dicho de otra manera, no se puede aplicar simultáneamente esta "prueba" a un número infinito de subconjuntos (por ejemplo, no se puede utilizar algo parecido al axioma de elección ). Es en los espacios de Fréchet-Urysohn donde el cierre de un conjunto puede determinarse sin que sea necesario considerar ningún conjunto distinto de Existen espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn.
- ^ Aunque esta "prueba" (que intenta responder "¿este conjunto está abierto (o cerrado)?") Podría dar un "falso positivo", nunca puede dar un " falso negativo "; esto se debe a que cada subconjunto abierto (o cerrado) es necesariamente secuencialmente abierta (o secuencialmente cerrada) por lo que esta "prueba" nunca indicará "falso" para ningún conjunto que realmente está abierto (resp. cerrado).
Citas
- ^ a b c d e f Snipes, Ray F. "Espacios topológicos secuenciales en T"
- ^ * Arhangel'skiĭ, AV; Franklin, SP (1968). "Invariantes ordinales para espacios topológicos" . Michigan Math. J . 15 (3): 313–320. doi : 10.1307 / mmj / 1029000034 .
- ^ Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS, Topología general I, definición 9 p.12
- ^ Engelking 1989, ejemplo 1.6.18
- ^ Ma, Dan. "Una nota sobre el espacio de Arens" . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3737020/topology-of-sequentially-open-sets-is-sequential
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 224.
- ^ Dudley, RM, Sobre la convergencia secuencial - Transacciones de la American Mathematical Society Vol 112, 1964, págs. 483-507
- ^ a b "Espacio vectorial topológico" . Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto, y por lo tanto normal.
- ^ a b Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
- ↑ a b T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Japón Acad. 35 (1959), 31-36.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 351-359.
Referencias
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