En matemáticas , un punto x se denomina un punto aislado de un subconjunto S (en un espacio topológico X ) si x es un elemento de S y existe una zona de x que no contiene ningún otros puntos de S . Esto equivale a decir que el singleton { x } es un conjunto abierto en el espacio topológico S (considerado como un subespacio de X ). Otra formulación equivalente es: un elemento x de Ses un punto de aislado S si y sólo si no es un punto límite de S .
Si el espacio X es un espacio euclidiano (o cualquier otro espacio métrico ), entonces un elemento x de S es un punto de aislado S si existe una bola abierta alrededor de x que no contiene otros puntos de S .
Nociones relacionadas
Un conjunto que se compone únicamente de puntos aislados se denomina conjunto discreto (ver también espacio discreto ). Cualquier subconjunto discreto S del espacio euclidiano debe ser contable , ya que el aislamiento de cada uno de sus puntos junto con el hecho de que los racionales son densos en los reales significa que los puntos de S pueden mapearse en un conjunto de puntos con coordenadas racionales, de las cuales solo hay muchos. Sin embargo, no todos los conjuntos contables son discretos, de los cuales los números racionales bajo la métrica euclidiana habitual son el ejemplo canónico.
Se dice que un conjunto sin un punto aislado es denso en sí mismo (cada vecindad de un punto contiene otros puntos del conjunto). Un conjunto cerrado sin punto aislado se denomina conjunto perfecto (tiene todos sus puntos límite y ninguno de ellos está aislado de él).
El número de puntos aislados es un invariante topológico , es decir, si dos espacios topológicos y son homeomorfos , el número de puntos aislados en cada uno es igual.
Ejemplos de
Ejemplos estándar
Los espacios topológicos en los siguientes tres ejemplos se consideran subespacios de la línea real con la topología estándar.
- Para el set , el punto 0 es un punto aislado.
- Para el set , cada uno de los puntos 1 / k es un punto aislado, pero 0 no es un punto aislado porque hay otros puntos en S tan cerca de 0 como se desee.
- El conjunto de números naturales es un conjunto discreto.
En el espacio topológico con topología , el elemento es un punto aislado, aunque pertenece al cierre de (y por lo tanto, en cierto sentido, "cerca" de ). Tal situación no es posible en un espacio de Hausdorff .
El lema de Morse establece que los puntos críticos no degenerados de ciertas funciones están aislados.
Dos ejemplos contrarios a la intuición
Considere el conjunto de puntos en el intervalo real tal que cada dígito de su representación binaria cumple las siguientes condiciones:
- Ya sea o .
- solo para un número finito de índices .
- Si denota el índice más grande tal que , luego .
- Si y , entonces se cumple exactamente una de las dos condiciones siguientes: o .
Informalmente, estas condiciones significan que cada dígito de la representación binaria de que es igual a 1 pertenece a un par ... 0110 ..., excepto ... 010 ... al final.
Ahora, es un conjunto explícito que consiste enteramente en puntos aislados que tiene la propiedad contraintuitiva de que su cierre es un conjunto incontable . [1]
Otro set con las mismas propiedades se pueden obtener de la siguiente manera. Dejarser el conjunto de Cantor de tercios medios , queser los intervalos de componentes de, y deja ser un conjunto que consta de un punto de cada . Desde cada uno contiene solo un punto de , cada punto de es un punto aislado. Sin embargo, si es cualquier punto en el conjunto de Cantor, entonces cada vecindario de contiene al menos uno , y por lo tanto al menos un punto de . De ello se desprende que cada punto del conjunto de Cantor radica en el cierre de, y por lo tanto Tiene cierre incontable.
Ver también
Referencias
- ^ Gómez-Ramírez, Danny (2007), "Un conjunto explícito de puntos aislados en R con cierre incontable" , Matemáticas: Enseñanza universitaria , Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Colombia, 15 : 145–147