El ajuste por mínimos cuadrados es un modelo para la solución de un sistema de ecuaciones sobredeterminado basado en el principio de mínimos cuadrados de los residuos de observación . Se utiliza ampliamente en las disciplinas de topografía , geodesia y fotogrametría , el campo de la geomática , colectivamente.
Formulación
Hay tres formas de ajuste por mínimos cuadrados: paramétrico , condicional y combinado :
- En el ajuste paramétrico , se puede encontrar una ecuación de observación h (X) = Y que relacione las observaciones Y explícitamente en términos de parámetros X (lo que conduce al modelo A siguiente).
- En el ajuste condicional , existe una ecuación de condición que es g (Y) = 0 que involucra solo observaciones Y (que conducen al modelo B a continuación), sin parámetros X en absoluto.
- Finalmente, en un ajuste combinado , tanto los parámetros X como las observaciones Y están involucrados implícitamente en una ecuación de modelo mixto f (X, Y) = 0 .
Claramente, ajustes paramétricos y condicionales corresponden al caso combinado más general cuando f (X, Y) = h (X) -Y y f (X, Y) = g (Y) , respectivamente. Sin embargo, los casos especiales garantizan soluciones más simples, como se detalla a continuación. A menudo en la literatura, Y puede ser denotado L .
Solución
Las igualdades anteriores solo son válidas para los parámetros estimados y observaciones , por lo tanto . Por el contrario, las observaciones medidas y parámetros aproximados producir un error de cierre distinto de cero :
Se puede proceder a la expansión en serie de Taylor de las ecuaciones, lo que da como resultado las matrices jacobianas o de diseño : la primera,
y el segundo,
El modelo linealizado luego dice:
dónde son correcciones de parámetros estimadas a los valores a priori , yson residuos de observación posteriores al ajuste .
En el ajuste paramétrico, la segunda matriz de diseño es una identidad, B = -I , y el vector de error de cierre se puede interpretar como los residuos de ajuste previo,, por lo que el sistema se simplifica a:
que tiene la forma de mínimos cuadrados ordinarios . En el ajuste condicional, la primera matriz de diseño es nula, A = 0 . Para los casos más generales, los multiplicadores de Lagrange se introducen para relacionar las dos matrices jacobianas y transformar la constreñido menos problema cuadrados en un uno sin restricciones (aunque una más grande). En cualquier caso, su manipulación conduce a la y vectores así como los respectivos parámetros y observaciones a posteriori matrices de covarianza.
Cálculo
Dadas las matrices y los vectores anteriores, su solución se encuentra mediante métodos estándar de mínimos cuadrados; ej., formando la matriz normal y aplicando la descomposición de Cholesky , aplicando la factorización QR directamente a la matriz jacobiana, métodos iterativos para sistemas muy grandes, etc.
Ejemplos resueltos
Aplicaciones
- Redes de nivelación , transversal y control
- Ajuste de paquete
- Triangulación , trilateración , Triangulateration
- Posicionamiento GPS / GNSS
- Transformación de Helmert
Conceptos relacionados
- El ajuste paramétrico es similar a la mayoría de los análisis de regresión y coincide con el modelo de Gauss-Markov
- El ajuste combinado, también conocido como modelo Gauss-Helmert (llamado así por los matemáticos / geodesistas alemanes CF Gauss y FR Helmert ), [1] [2] está relacionado con los modelos de errores en variables y mínimos cuadrados totales . [3] [4]
- El uso de una matriz de covarianza de parámetros a priori es similar a la regularización de Tikhonov
Extensiones
Si se encuentra una deficiencia de rango , a menudo se puede rectificar mediante la inclusión de ecuaciones adicionales que imponen restricciones a los parámetros y / u observaciones, lo que lleva a mínimos cuadrados restringidos .
Referencias
- ^ Kotz, Samuel; Leer, Campbell B .; Balakrishnan, N .; Vidakovic, Brani; Johnson, Norman L. (15 de julio de 2004). "Modelo de Gauss-Helmert". Enciclopedia de Ciencias Estadísticas . Hoboken, Nueva Jersey, EE.UU .: John Wiley & Sons, Inc. doi : 10.1002 / 0471667196.ess0854.pub2 . ISBN 978-0-471-66719-3.
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Bibliografía
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