Grassmanniano afín

En matemáticas , el Grassmanniano afín de un grupo algebraico G sobre un campo k es un esquema ind —un colímite de esquemas de dimensión finita— que se puede considerar como una variedad indicadora para el grupo de bucles G ( k (( t )) ) y que describe la teoría de la representación del grupo dual L G de Langlands a través de lo que se conoce como correspondencia geométrica de Satake .

Sea k un campo, y denotemos por y la categoría de k -álgebras conmutativas y la categoría de conjuntos respectivamente. Mediante el lema de Yoneda , un esquema X sobre un campo k está determinado por su funtor de puntos , que es el funtor que lleva A al conjunto X ( A ) de A - puntos de X. Entonces decimos que este funtor es representable por el esquema X . El Grassmannian afín es un funtor de k-álgebras de conjuntos que no son en sí mismos representables, pero que tienen una filtración por funtores representables. Como tal, aunque no es un esquema, puede pensarse como una unión de esquemas, y esto es suficiente para aplicar provechosamente métodos geométricos para estudiarlo.

Sea G un grupo algebraico sobre k . El afín Grassmanniano Gr G es el funtor que asocia a un k -álgebra A el conjunto de clases de isomorfismos de pares ( E , φ ), donde E es un espacio homogéneo principal para G sobre Spec A [[ t ]] y φ es un isomorfismo, definido sobre Spec A (( t )), de E con el paquete G trivial G × Spec A ( (t )). Por el teorema de Beauville-Laszlo , también es posible especificar estos datos fijando una curva algebraica X sobre k , un k -punto x en X , y tomando E como un G -haz en X A y φ una trivialización en ( X  -  X ) UN . Cuando G es un grupo reductivo , Gr G es de hecho ind-proyectivo, es decir, un límite inductivo de esquemas proyectivos.

Denotemos por el campo de la serie formal de Laurent sobre k , y por el anillo de la serie formal de potencia sobre k . Al elegir una trivialización de E sobre todo , el conjunto de k - puntos de Gr G se identifica con el espacio lateral .