Functor representado por un esquema
En geometría algebraica, un funtor representado por un esquema X es un funtor contravariante de valor establecido en la categoría de esquemas , de manera que el valor del funtor en cada esquema S es (hasta biyecciones naturales) el conjunto de todos los morfismos . El esquema X entonces se dice que representan el funtor y que Clasificar objetos geométricos más de S dadas por F . [1]
El ejemplo más conocido es el esquema de Hilbert de un esquema X (sobre algún esquema de base fija), que, cuando existe, representa un funtor que envía un esquema S a una familia plana de subesquemas cerrados de . [2]
En algunas aplicaciones, puede que no sea posible encontrar un esquema que represente un funtor determinado. Esto llevó a la noción de una pila , que no es exactamente un funtor, pero aún puede tratarse como si fuera un espacio geométrico. (Un esquema de Hilbert es un esquema, pero no una pila porque, en términos muy generales, la teoría de la deformación es más simple para esquemas cerrados).
Algunos problemas de módulos se resuelven dando soluciones formales (a diferencia de las soluciones algebraicas polinomiales) y, en ese caso, el funtor resultante se representa mediante un esquema formal . Entonces se dice que tal esquema formal es algebraizable si hay otro esquema que puede representar el mismo funtor, hasta algunos isomorfismos.
La noción es análoga a un espacio de clasificación en topología algebraica . En topología algebraica, el hecho básico es que cada paquete G principal sobre un espacio S es (hasta los isomorfismos naturales) el retroceso de un paquete universal a lo largo de algún mapa de S a . En otras palabras, para dar un principal G -bundle sobre un espacio S es el mismo que para dar un mapa (llamado un mapa de clasificación) de un espacio S para el espacio clasificador de G .
Un fenómeno similar en geometría algebraica viene dado por un sistema lineal : dar un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo es (hasta loci de base) dar un sistema lineal a la variedad proyectiva.