En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el L G dual de Langlands de un grupo algebraico reductivo G (también llamado el grupo L de G ) es un grupo que controla la teoría de la representación de G. Si G se define sobre un campo k , entonces L G es una extensión del grupo absoluto de Galois de k por un grupo de Lie complejo . También hay una variación llamada forma de Weil del grupo L. , donde el grupo Galois es reemplazado por un grupo Weil . Aquí, la letra L en el nombre también indica la conexión con la teoría de las funciones L , particularmente las funciones L automórficas . Langlands dual fue presentado por Langlands (1967) en una carta a A. Weil .
El grupo L se utiliza mucho en las conjeturas de Langlands de Robert Langlands . Se utiliza para hacer afirmaciones precisas a partir de ideas de que las formas automórficas son en cierto sentido funcionales en el grupo G , cuando k es un campo global . No es exactamente G con respecto a qué formas y representaciones automórficas son functoriales, sino L G . Esto da sentido a numerosos fenómenos, como el "levantamiento" de formas de un grupo a otro más grande, y el hecho general de que ciertos grupos que se vuelven isomorfos después de extensiones de campotienen representaciones automórficas relacionadas.
A partir de un grupo algebraico reductivo sobre un campo K separablemente cerrado podemos construir su dato raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), donde X * es el retículo de caracteres de un toro máximo, X * el retículo dual (dado por los subgrupos de 1 parámetro), Δ las raíces y Δ v las co-raíces. Un grupo algebraico reductivo conexo sobre K está determinado únicamente (hasta el isomorfismo) por su dato raíz. Un dato raíz contiene un poco más de información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo.
Para cualquier dato raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), podemos definir un dato raíz dual ( X * , Δ v , X * , Δ) cambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro y cambiando el raíces con las raíces.
Si G es un grupo algebraico reductivo conexo sobre el campo algebraicamente cerrado K , entonces su grupo dual de Langlands L G es el grupo reductivo complejo conexo cuyo dato raíz es dual al de G .
Ejemplos : El grupo dual de Langlands L G tiene el mismo diagrama de Dynkin que G , excepto que los componentes de tipo B n se cambian a componentes de tipo C n y viceversa. Si G tiene centro trivial entonces L G es simplemente conexo, y si G es simplemente conexo entonces L G tiene centro trivial. El dual Langlands de GL n ( K ) es GL n ( C ).