En matemáticas , particularmente en la teoría de categorías , un funtor representable es un cierto funtor de una categoría arbitraria a la categoría de conjuntos . Dichos functores dan representaciones de una categoría abstracta en términos de estructuras conocidas (es decir, conjuntos y funciones ), lo que permite utilizar, tanto como sea posible, el conocimiento sobre la categoría de conjuntos en otros entornos.
Desde otro punto de vista, funtores representables para una categoría C son los funtores dadas con C . Su teoría es una vasta generalización de conjuntos superiores en posets y del teorema de Cayley en teoría de grupos .
Definición
Sea C una categoría localmente pequeña y sea Set la categoría de conjuntos . Para cada objeto A de C, sea Hom ( A , -) el functor hom que mapea el objeto X al conjunto Hom ( A , X ).
Un funtor F : C → Set se dice que es representable si es naturalmente isomorfo a Hom ( A , -) para un objeto A de C . Una representación de F es un par ( A , Φ) donde
- Φ: Hom ( A , -) → F
es un isomorfismo natural.
Un funtor contravariante G de C a Set es lo mismo que un funtor G : C op → Set y comúnmente se le llama preheaf . A prehaz es representable cuando es naturalmente isomorfo al contravariant hom-funtor Hom (-, A ) para un objeto A de C .
Elementos universales
Según el lema de Yoneda , las transformaciones naturales de Hom ( A , -) a F están en correspondencia biunívoca con los elementos de F ( A ). Dada una transformación natural Φ: Hom ( A , -) → F el elemento correspondiente u ∈ F ( A ) está dado por
Por el contrario, dado cualquier elemento u ∈ F ( A ) podemos definir una transformación natural Φ: Hom ( A , -) → F vía
donde f es un elemento de Hom ( A , X ). Para obtener una representación de F , queremos saber cuándo la transformación natural inducida por u es un isomorfismo. Esto lleva a la siguiente definición:
- Un elemento universal de un funtor F : C → Conjunto es un par ( A , u ) que consta de un objeto A de C y un elemento u ∈ F ( A ) tal que para cada par ( X , v ) con v ∈ F ( X ) existe un morfismo único f : A → X tal que ( Ff ) u = v .
Un elemento universal puede ser visto como un morfismo universal, a partir del conjunto de un punto {•} para el funtor F o como un objeto inicial en la categoría de los elementos de F .
La transformación natural inducida por un elemento u ∈ F ( A ) es un isomorfismo si y sólo si ( A , T ) es un elemento universal de F . Por consiguiente, concluimos que las representaciones de F están en uno-a-uno correspondencia con elementos universales de F . Por esta razón, es común referirse a elementos universales ( A , u ) como representaciones.
Ejemplos de
- Considere el functor contravariante P : Conjunto → Conjunto que asigna cada conjunto a su conjunto de potencia y cada función a su mapa de imagen inverso . Para representar este funtor necesitamos un par ( A , u ) donde A es un conjunto y u es un subconjunto de A , es decir, un elemento de P ( A ), tal que para todos los conjuntos X , el hom-set Hom ( X , A ) es isomorfo a P ( X ) a través de Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Tome A = {0,1} yu = {1}. Dado un subconjunto S ⊆ X la función correspondiente de X a A es la función característica de S .
- Los functors olvidadizos de Set son a menudo representables. En particular, un funtor olvidadizo está representado por ( A , u ) siempre que A es un objeto libre sobre un conjunto singleton con generador u .
- El functor olvidadizo Grp → Set en la categoría de grupos está representado por ( Z , 1).
- El functor olvidadizo Ring → Set en la categoría de anillos está representado por ( Z [ x ], x ), el anillo polinomial en una variable con coeficientes enteros .
- El functor olvidadizo Vect → Establecer en la categoría de espacios vectoriales reales está representado por ( R , 1).
- El functor olvidadizo Top → Set en la categoría de espacios topológicos está representado por cualquier espacio topológico singleton con su elemento único.
- Un grupo G puede considerarse una categoría (incluso un grupoide ) con un objeto que denotamos por •. Un funtor de G a Set corresponde a un G -set . El único hom-functor Hom (•, -) de G a Set corresponde al canónico G -set G con la acción de multiplicación por la izquierda. Los argumentos estándar de la teoría de grupos muestran que un funtor de G a Set es representable si y solo si el correspondiente G -set es simplemente transitivo (es decir, G -torsor o heap ). Elegir una representación equivale a elegir una identidad para el montón.
- Sea C la categoría de complejos CW con morfismos dados por clases de homotopía de funciones continuas. Para cada número natural n hay un functor contravariante H n : C → Ab que asigna a cada complejo CW su n- ésimo grupo de cohomología (con coeficientes enteros). Al componer esto con el functor olvidadizo tenemos un functor contravariante de C a Set . El teorema de representabilidad de Brown en topología algebraica dice que este funtor está representado por un complejo CW K ( Z , n ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane .
- Sea R un anillo conmutativo con identidad y sea R - Mod la categoría de R -módulos. Si M y N son módulos unitarios sobre R , hay un functor covariante B : R - Mod → Set que asigna a cada R -módulo P el conjunto de R -mapas bilineales M × N → P y a cada R -módulo homomorfismo f : P → Q la función B ( f ): B ( P ) → B ( Q ), que envía cada mapa bilineal g : M × N → P al mapa bilineal f ∘ g : M × N → Q . El funtor B está representado por el R -módulo M ⊗ R N . [1]
Propiedades
Unicidad
Las representaciones de los functores son únicas hasta un isomorfismo único. Es decir, si ( A 1 , Φ 1 ) y ( A 2 , Φ 2 ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ: A 1 → A 2 tal que
como isomorfismos naturales de Hom ( A 2 , -) a Hom ( A 1 , -). Este hecho se desprende fácilmente del lema de Yoneda .
Expresado en términos de elementos universales: si ( A 1 , u 1 ) y ( A 2 , u 2 ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ: A 1 → A 2 tal que
Preservación de límites
Los functores representables son naturalmente isomorfos a los functores Hom y, por lo tanto, comparten sus propiedades. En particular, los functores representables (covariantes) conservan todos los límites . De ello se deduce que cualquier funtor que no mantenga algún límite no es representable.
Los functores representables contravariantes llevan colimits al límite.
Adjunto izquierdo
Cualquier funtor K : C → Conjunto con un adjunto izquierdo F : Conjunto → C está representado por ( FX , η X (•)) donde X = {•} es un conjunto singleton y η es la unidad de la adjunción.
Por el contrario, si K se representa por un par ( A , T ) y todos los pequeños copowers de A existir en C entonces K tiene un adjunto izquierdo F que envía cada conjunto I a la I º Copower de A .
Por lo tanto, si C es una categoría con todos los copoderes pequeños, un funtor K : C → Conjunto es representable si y solo si tiene un adjunto izquierdo.
Relación con morfismos universales y adjuntos.
Las nociones categóricas de morfismos universales y functores adjuntos pueden expresarse utilizando functores representables.
Deje G : D → C sea un funtor y dejar que X sea un objeto de C . Entonces ( A , φ) es un morfismo universal de X a G si y solo si ( A , φ) es una representación del funtor Hom C ( X , G -) de D a Set . De ello se deduce que G tiene una izquierda-adjunto F si y sólo si Hom C ( X , G -) es representable para todos X en C . El isomorfismo natural Φ X : Hom D ( FX , -) → Hom C ( X , G -) produce la adyacencia; es decir
es una biyección para todos X y Y .
Las declaraciones duales también son ciertas. Deje F : C → D sea un funtor y dejar que Y sea un objeto de D . Entonces ( A , φ) es un morfismo universal de F a Y si y solo si ( A , φ) es una representación del funtor Hom D ( F -, Y ) de C a Set . De ello se deduce que F tiene un derecho-adjunto G si y sólo si Hom D ( F -, Y ) es representable para todos Y en D .
Ver también
- Clasificador de subobjetos
- Teorema de densidad
Referencias
- ^ Hungerford, Thomas. Álgebra . Springer-Verlag. pag. 470. ISBN 3-540-90518-9.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.