En matemáticas, un haz afín es un haz de fibras cuyas fibras, fibras, morfismos de trivialización y funciones de transición típicas son afines. [1]
Definicion formal
Dejar ser un paquete de vectores con una fibra típica un espacio vectorial . Un paquete afín modelado en un paquete de vectores es un haz de fibras cuya fibra típica es un espacio afín inspirado en para que se cumplan las siguientes condiciones:
(i) Toda la fibra de son espacios afines modelados sobre las fibras correspondientes de un paquete de vectores .
(ii) Hay un atlas de paquetes afines de cuyas trivializaciones locales morfismos y funciones de transición son isomorfismos afines .
Al tratar con paquetes afines, se usan solo coordenadas de paquete afines que posee funciones de transición afines
Hay morfismos de haz
dónde son coordenadas de paquete lineal en un paquete de vectores , que posee funciones de transición lineal .
Propiedades
Un paquete afín tiene una sección global , pero a diferencia de los paquetes vectoriales, no hay una sección global canónica de un paquete afín. Dejarser un paquete afín modelado en un paquete de vectores . Cada sección global de un paquete afín produce los morfismos del paquete
En particular, cada paquete de vectores tiene una estructura natural de un paquete afín debido a estos morfismos donde es la sección canónica de valor cero de . Por ejemplo, el paquete tangente de un colector naturalmente es un paquete afín.
Un paquete afín es un haz de fibras con un grupo de estructura afín general de transformaciones afines de su fibra típica de dimensión . Este grupo de estructura siempre se puede reducir a un grupo lineal general. , es decir, un paquete afín admite un atlas con funciones de transición lineal.
Por morfismo de paquetes afines se entiende un morfismo de paquete cuya restricción a cada fibra de es un mapa afín. Cada morfismo de paquete afín de un paquete afín modelado en un paquete de vectores a un paquete afín modelado en un paquete de vectores produce un morfismo de haz lineal único
llamada derivada lineal de.
Ver también
Notas
- ↑ Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), los operadores Naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, Archivado desde el original (PDF) en 03/30/2017 , recuperada 05/28/2013. (página 60)
Referencias
- S. Kobayashi, K. Nomizu, Fundamentos de la geometría diferencial , Vols. 1 y 2, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 .
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), los operadores Naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, Archivado desde el original (PDF) en 03/30/2017 , recuperada 05/28/2013
- Sardanashntly, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Paquetes de fibra, colectores de chorro y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 .
- Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7